Lösung Fragestellungen zu einer Wertetabelle
Version 2.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/06 19:41
- 2. Die Nullstellen sind \(x = -3\) (doppelt) und \(x = -1\) (einfach). Ansatz in Produktform:
- Aus der Tabelle folgt: \(f(-3) = 0\) und links sowie rechts davon ist \(f(x) < 0\). Da kein Vorzeichenwechsel stattfindet und laut Aufgabenstellung keine weiteren Nullstellen existieren, handelt es sich bei \(x = -3\) um eine doppelte Nullstelle.
- Bei \(x = -1\) gilt ebenfalls \(f(x) = 0\), hier wechselt das Vorzeichen aber von negativ zu positiv. Daher liegt eine einfache Nullstelle vor.
- Der Wert \(f(-4) = -3 < 0\) zeigt, dass der Graph links im dritten Quadranten verläuft; \(f(0) = 9 > 0\) belegt den Verlauf in den ersten Quadranten. Die Funktion dritten Grades mit positivem Leitkoeffizienten bestätigt diesen Verlauf.
- Da der Wert \(f(1)\) laut Tabelle nicht gegeben ist, bestimmen wir diesen über die Funktionsgleichung. Zunächst ermitteln wir diese in Teilaufgabe 2.
\[
f
= a(x + 3)^2(x + 1)
\]
Einsetzen des Punktes \(f(0) = 9\) ergibt:
\[
f(0) = a \cdot 3^2 \cdot 1 = 9a = 9 \Rightarrow a = 1
\]
Somit lautet die Funktionsgleichung:
\[
f = (x + 3)^2(x + 1)
\]
Einsetzen von \(x = 1\) ergibt:
\[
f(1) = (1 + 3)^2 \cdot (1 + 1) = 16 \cdot 2 = 32
\Rightarrow f(1) \ne -8
\]
Der Punkt \(R(1|-8)\) liegt nicht auf dem Graphen von \(f\).
- Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel
- Nullstelle mit Vorzeichenwechsel
- Der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades hat nur zwei Extrempunkte. Einer ist die doppelte NS, der andere ist iwo zwischen den beiden Nullstellen. Für \(x \rightarrow -\infty\) werden die Funktionswerte negativ, für \(x \rightarrow \infty\) positiv.
- Dafür müsste der Funktionsgraph einen weiteren Hochpunkt in der Nähe von x=0 haben.
Ansatz \(f(x)=a(x+3)^2(x+1)\)
Punktprobe mit \((0|9)\):
\(f(0)=9 \Rightarrow a\cdot3^2\cdot1=0\Rightarrow a=1\)
Also: \(f(x)=(x+3)^2(x+1)\)