BPE 3.4 Polynomgleichungen

1  Lösen  (k.A.) 𝕀  𝕃

Bestimmen Sie die Lösungen folgender Gleichungen:

    a) \(0=-x^3-4096\)

    b) \(0=x^2 \cdot(x+3)\cdot(x-3)\cdot(x-8)\)

    c) \(0=x^4-2x^2-35 \)

2  Nullstellen  (k.A.) 𝕃

Gegeben ist die in R definierte Funktion \(f:x \mapsto x^3+2x^2\).
Bestätigen Sie, dass \(x_1=-2 \) und \( x_2=0 \) die einzigen Nullstellen von f sind.

3  Schnittstellen  (k.A.) 𝕃

Gegeben sind die in R definierten Funktionen \( g:x \mapsto x^2-3\) und \( h:x \mapsto-x^2+2x+1\).

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von g und h nur für \( x=-1\) und \(x=2\) schneiden.

4  Schnittstellen Gerade  (k.A.) 𝕃

Gegeben ist die in Funktion f mit \(f(x)=\frac{1}{3} x^3-\frac{4}{3} x+1\).
Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte, in denen der Graph von f die Gerade mit der Gleichung \(y=1\) schneidet.

5  Grad und Nullstellen  (k.A.) 𝕃

Begründen Sie, ob es eine Polynomgleichung mit folgenden Eigenschaften geben kann:

a) Eine Polynomgleichung 4. Grades, die nur die Lösungen \( 5 \) und \(-5 \) besitzt.
b) Eine Polynomgleichung 3. Grades, die keine Lösung hat.

6  Grad 6 eine Lösung  (k.A.) 𝕃

Bestimmen Sie eine Polynomgleichung 6. Grades, die genau eine Lösung besitzt und durch Substitution gelöst werden kann.