BPE 3.4 Polynomgleichungen

1  Lösen  (14 min) 𝕀  𝕃

Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen \(x\in\mathbb{R}\)ohne Taschenrechner:

1. \(0=-x^3-4096\)
2. \(0=x^2 \cdot(x+3)\cdot(x-3)\cdot(x-8)\)
3. \(0=x^4-2x^2-35 \)
4. \((x^2-4)(x-3)=0\)
5. \(x^3+x^2-\frac{3}{4}x=0\)
6. \(x^3+3x^2-4=3x^2+9x-4\)

2  Lösung in Abhängigkeit von a  (4 min) 𝕃

Bestimme \(a\in\mathbb{R} \) so, dass die Gleichung genau zwei Lösungen hat.

\((x^2-4)(x-a)=0\)

3  Nullstellen  (4 min) 𝕃

Gegeben ist die in R definierte Funktion \(f:x \mapsto x^3+2x^2\).
Bestätigen Sie, dass \(x_1=-2 \) und \( x_2=0 \) die einzigen Nullstellen von f sind.

4  Schnittstellen  (5 min) 𝕃

Gegeben sind die in R definierten Funktionen \( g:x \mapsto x^2-3\) und \( h:x \mapsto-x^2+2x+1\).

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von g und h nur für \( x=-1\) und \(x=2\) schneiden.

5  Schnittstellen Gerade  (k.A.) 𝕃

Gegeben ist die in Funktion f mit \(f(x)=\frac{1}{3} x^3-\frac{4}{3} x+1\).
Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte, in denen der Graph von f die Gerade mit der Gleichung \(y=1\) schneidet.

6  Grad und Nullstellen  (k.A.) 𝕃

Begründen Sie, ob es eine Polynomgleichung mit folgenden Eigenschaften geben kann:

a) Eine Polynomgleichung 4. Grades, die nur die Lösungen \( 5 \) und \(-5 \) besitzt.
b) Eine Polynomgleichung 3. Grades, die keine Lösung hat.

7  Grad 6 eine Lösung  (k.A.) 𝕃

Bestimmen Sie eine Polynomgleichung 6. Grades, die genau eine Lösung besitzt und durch Substitution gelöst werden kann.

8  Einfache Ungleichung  (k.A.) 𝕃

Sara und Paul möchten folgende Ungleichung lösen: \(-a < -b\)
Sara und Paul haben unterschiedliche Ideen, wie sie die Gleichung lösen möchten.
Sara möchte zu beiden Seiten \(a+b\) addieren.
Paul möchte beide Seiten mit  \(-1\) multiplizieren.
Gib an, wie sich die Gleichung jeweils verändert und welche Idee zur Lösung der Ungleichung führt.

9  Quadratische Ungleichung  (k.A.) 𝕋  𝕃

Gegeben ist die Ungleichung \(3x^2+12x+9\le0\)

1. Löse die Ungleichung graphisch
2. Löse die Ungleichung algebraisch, ggf. unter Zuhilfenahme einer Skizze.

10  Quadratische Ungleichung  (k.A.) 𝕋  𝕃

Gesucht ist nach dem Intervall, in dem die Funktion f mit \(f(x)=3x^2+12x+9\) unterhalb der x-Achse verläuft. Untersuche, ob folgende Ungleichung den Sachverhalt widerspiegelt: \(-(3x^2+12x+9)>0\)