BPE 3.4 Polynomgleichungen

1  Lösen  (14 min) 𝕀  𝕃

Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen \(x\in\mathbb{R}\) ohne Taschenrechner:

1. \(0=-x^3-4096\)
2. \(0=x^2 \cdot(x+3)\cdot(x-3)\cdot(x-8)\)
3. \(0=x^4-2x^2-35 \)
4. \((x^2-4)(x-3)=0\)
5. \(x^3+x^2-\frac{3}{4}x=0\)
6. \(x^3+3x^2-4=3x^2+9x-4\)

2  Lösung in Abhängigkeit von a  (4 min) 𝕃

Bestimme \(a\in\mathbb{R}\) so, dass die Gleichung genau zwei Lösungen hat.
\((x^2-4)(x-a)=0\)

3  Nullstellen  (4 min) 𝕃

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion f mit \(f(x) = x^3+2x^2\). Bestätige, dass \(x_1=-2\) und \( x_2=0\) die einzigen Nullstellen von f sind.

4  Schnittstellen  (5 min) 𝕃

Gegeben sind die in R definierten Funktionen \( g:x \mapsto x^2-3\) und \( h:x \mapsto-x^2+2x+1\).

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von g und h nur für \( x=-1\) und \(x=2\) schneiden.

5  Schnittstellen Polynom-Gerade  (5 min) 𝕃

Gegeben ist die in Funktion f mit \(f(x)=\frac{1}{3} x^3-\frac{4}{3} x+1\).
Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte, in denen der Graph von f die Gerade mit der Gleichung \(y=1\) schneidet.

6  Grad und Nullstellen  (5 min) 𝕃

Begründen Sie, ob es eine Polynomgleichung mit folgenden Eigenschaften geben kann:

a) Eine Polynomgleichung 4. Grades, die nur die Lösungen \( 5 \) und \(-5 \) besitzt.
b) Eine Polynomgleichung 3. Grades, die keine Lösung hat.

7  Grad 6 eine Lösung  (10 min) 𝕃

Bestimmen Sie eine Polynomgleichung 6. Grades, die genau eine Lösung besitzt und durch Substitution gelöst werden kann.

8  Rückwärts lösen  (k.A.) 𝕃

1. \[\begin{align*} \square x^3+\square &= 0\\ \square x^3 &=\square\quad \left| :2\\ x^3 &= \square \\ x &= -2 \end{align*}\]
2. \[\begin{align*} 2x^3+\square x^2 &= 0 \\ \square (x-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP } \end{align*}\]

   \[\Rightarrow x_{1,2}=\square; x_3=6\]
3. \[\begin{align*} x^4+\square x^2+\square &= 0 & \left|\left|\text{ Subst.: } & x^2:=\square\\ z^2+\square z + \square &= 0 & \left|\left|\text{ SVNP } & \end{align*}\]

   \[\begin{align*} \Rightarrowz_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\ z_1&=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square} \end{align*}\]

   \[\begin{align*} &\text{Resubst.: } \square := x^2\\ &x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\ &x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2 \end{align*}\]

9  Einfache Ungleichung  (k.A.) 𝕃

Sara und Paul möchten folgende Ungleichung lösen: \(-a < -b\)
Sara und Paul haben unterschiedliche Ideen, wie sie die Gleichung lösen möchten.
Sara möchte zu beiden Seiten \(a+b\) addieren.
Paul möchte beide Seiten mit  \(-1\) multiplizieren.
Gib an, wie sich die Gleichung jeweils verändert und welche Idee zur Lösung der Ungleichung führt.

10  Quadratische Ungleichung  (k.A.) 𝕋  𝕃

Gegeben ist die Ungleichung \(3x^2+12x+9\le0\)

1. Löse die Ungleichung graphisch
2. Löse die Ungleichung algebraisch, ggf. unter Zuhilfenahme einer Skizze.

11  Quadratische Ungleichung  (k.A.) 𝕋  𝕃

Gesucht ist nach dem Intervall, in dem die Funktion f mit \(f(x)=3x^2+12x+9\) unterhalb der x-Achse verläuft. Untersuche, ob folgende Ungleichung den Sachverhalt widerspiegelt: \(-(3x^2+12x+9)>0\)