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BPE 3.4 Polynomgleichungen

Version 66.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/06 12:27
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Inhalt

K5 Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine Polynomgleichung zu lösen
K1 Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Polynomgleichung begründen
K5 Ich kann Polynomgleichungen algebraisch lösen
K5 K4 Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Nullstelle interpretieren
K5 K4 Ich kann die Lösungen einer Polynomgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
K5 K4 Ich kann die Lösung quadratischer Ungleichungen mithilfe des Funktionsgraphen bestimmen

KMap Strategietrainer

Bestimme die Lösungen folgender Gleichungen \(x\in\mathbb{R}\) ohne Taschenrechner:

  1. \(0=-x^3-4096\)
  2. \(0=x^2 \cdot(x+3)\cdot(x-3)\cdot(x-8)\)
  3. \(0=x^4-2x^2-35 \)
  4. \((x^2-4)(x-3)=0\)
  5. \(x^3+x^2-\frac{3}{4}x=0\)
  6. \(x^3+3x^2-4=3x^2+9x-4\)
AFB I - K5Quelle Martina Wagner

Bestimme \(a\in\mathbb{R}\) so, dass die Gleichung genau zwei Lösungen hat.
\((x^2-4)(x-a)=0\)

AFB I - K5Quelle Stefanie Schmidt

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion f mit \(f(x) = x^3+2x^2\). Bestätige, dass \(x_1=-2\) und \( x_2=0\) die einzigen Nullstellen von f sind.

AFB I - K5Quelle IQB e.V.
Teil 1 Aufgabe 2 a

Gegeben sind die in R definierten Funktionen \( g:x \mapsto x^2-3\) und \( h:x \mapsto-x^2+2x+1\).

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von g und h nur für \( x=-1\) und \(x=2\) schneiden.

AFB II - K1 K5Quelle IQB e.V.

Gegeben ist die in Funktion f mit \(f(x)=\frac{1}{3} x^3-\frac{4}{3} x+1\).
Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte, in denen der Graph von f die Gerade mit der Gleichung \(y=1\) schneidet.

AFB II - K2 K5 K4Quelle IQB e.V.

Begründen Sie, ob es eine Polynomgleichung mit folgenden Eigenschaften geben kann:

a) Eine Polynomgleichung 4. Grades, die nur die Lösungen \( 5 \) und \(-5 \) besitzt.
b) Eine Polynomgleichung 3. Grades, die keine Lösung hat.

AFB II - K1 K6 K4Quelle Martina Wagner

Bestimmen Sie eine Polynomgleichung 6. Grades, die genau eine Lösung besitzt und durch Substitution gelöst werden kann.

AFB III - K1 K2 K5 K6Quelle Martina Wagner
  1.
    \[\begin{align*} \square x^3+\square &= 0\\ \square x^3 &=\square\quad \left| :2\\ x^3 &= \square \\ x &= -2 \end{align*}\]
  2.
    \[\begin{align*} 2x^3+\square x^2 &= 0 \\ \square (x-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP } \end{align*}\]
    \[\Rightarrow x_{1,2}=\square; x_3=6\]
  3.
    \[\begin{align*} x^4+\square x^2+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } x^2:=\square\\ z^2+\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } & \end{align*}\]
    \[\begin{align*} \Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\ z_1&=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square} \end{align*}\]
    \[\begin{align*} &\text{Resubst.: } \square := x^2\\ &x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\ &x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2 \end{align*}\]
AFB III - K2 K5Quelle Martina Wagner

Sara und Paul möchten folgende Ungleichung lösen: \(-a < -b\)
Sara und Paul haben unterschiedliche Ideen, wie sie die Gleichung lösen möchten.
Sara möchte zu beiden Seiten \(a+b\) addieren.
Paul möchte beide Seiten mit  \(-1\) multiplizieren.
Gib an, wie sich die Gleichung jeweils verändert und welche Idee zur Lösung der Ungleichung führt.

AFB I - K4Quelle Stefanie Schmidt

Vergleiche die drei grundlegenden Verfahren zur Lösung von Polynomungleichungen miteinander, erläutere sie dafür zunächst je einzeln.

  1. das tabellarische Verfahren,
  2. das graphische Verfahren,
  3. das rechnerische Verfahren.
AFB II - K4Quelle ChatGPT (Fachberatung), überarbeitet durch Martin Rathgeb

Das Makro [aufgabe] konnte nicht ausgeführt werden. Grund: [Parameter [kompetenzen] is mandatory]. Klicke auf diese Nachricht, um Details zu erfahren.

Gegeben ist die Ungleichung \(3x^2+12x+9\le0\)

  1. Löse die Ungleichung graphisch
  2. Löse die Ungleichung algebraisch, ggf. unter Zuhilfenahme einer Skizze.
AFB I - K4Quelle Stefanie Schmidt

Gesucht ist nach dem Intervall, in dem die Funktion f mit \(f(x)=3x^2+12x+9\) unterhalb der x-Achse verläuft. Untersuche, ob folgende Ungleichung den Sachverhalt widerspiegelt: \(-(3x^2+12x+9)>0\)

AFB II - K4Quelle Stefanie Schmidt

Inhalt für Lehrende (Anmeldung erforderlich)

Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

K1K2K3K4K5K6
I000230
II210421
III120021
Bearbeitungszeit gesamt: 47 min
Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst