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Version 11.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/06 23:50
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1 **Aufgabenstellung:**
2 Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:
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4 **Lösungsschritte:**
5 (% class="abc" %)
6 1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 1).//
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8 **Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):**
9 (% class="border slim" %)
10 |{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
11 |{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}
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13 **Interpretation:**
14 Die Funktion nimmt in diesen Punkten ausschließlich nicht-negative Werte an. Nur bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} wird der Funktionswert null. Zwischen diesen Punkten bleibt das Verhalten unklar – wir sehen noch keine negativen Werte. Eine genauere Untersuchung ist nötig.
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16 2. //Tabellarisches Verfahren (Teil 2).//
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18 **Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):**
19 (% class="border slim" %)
20 |{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|
21 |{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}<0{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}>0{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}>0{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}<0{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|
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23 **Interpretation:**
24 Nun zeigt sich:
25 (i) Für diejenigen {{formula}}x{{/formula}} mit {{formula}}x<-2{{/formula}}, {{formula}}-1<x<+1[{{/formula}} und {{formula}}+2<x{{/formula}} gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}}.
26 (ii) Für diejenigen {{formula}}x{{/formula}} mit {{formula}}-1,5<x<-1{{/formula}}, {{formula}}+1<x<+1,5[{{/formula}} gilt {{formula}}f(x)<{{/formula}}.
27 (iii) Hingegen liegt in den Intervallen {{formula}}]-2; -1,5[{{/formula}} und {{formula}}]+1,5; +2[{{/formula}} jeweils mindestens eine Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}}, denn für beide Intervalle gilt: An den Rändern hat {{formula}}f(x){{\formula}} unterschiedliche Vorzeichen.
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29 3. **Graphische Skizze:**
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31 Die Funktion ist **geraden Grades** (4) mit **positivem Leitkoeffizienten** (1). Daraus folgt:
32 - {{formula}}\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = +\infty{{/formula}}
33 - Die Funktion ist **achsensymmetrisch**, da alle Potenzen gerade sind.
34 - Die vorherige Tabelle zeigt, dass der Graph in der Nähe von {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} die x-Achse berührt und dazwischen negativ wird.
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36 **Lage zur x-Achse:**
37 - Nullstellen: {{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
38 - Graph liegt **oberhalb der x-Achse** für:
39 - {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}}
40 - {{formula}}-1 < x < 1{{/formula}}
41 - {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}}
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43 ---
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45 4. **Rechnerisches Verfahren:**
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47 Faktorisieren:
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49 {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}){{/formula}}
50
51 **Nullstellen:**
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53 {{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
54
55 **Vorzeichenanalyse:**
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57 | Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
58 |----------------------------------|----------|---------------------------------------------|
59 | {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
60 | {{formula}}(-\sqrt{3}, -1){{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
61 | {{formula}}(-1,\ 1){{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
62 | {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
63 | {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
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65 **Gesuchte Lösung:**
66 {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für
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68 **L** = {{formula}}(-\infty,\ -\sqrt{3}) \cup (-1,\ 1) \cup (\sqrt{3},\ \infty){{/formula}}
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72 5. **Vergleich der Verfahren:**
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74 - Das **tabellarische Verfahren** gibt erste Hinweise auf das Verhalten der Funktion, eignet sich zur Erkundung durch systematisches Probieren, bleibt aber ungenau bei der Bestimmung von Nullstellenpositionen.
75 - Das **graphische Verfahren** bietet anschauliche Orientierung: Vorzeichenwechsel, Lage zur x-Achse und Symmetrie werden sichtbar. Es stützt das funktionale Verständnis, ist aber zeichengenauigkeitsabhängig.
76 - Das **rechnerische Verfahren** liefert exakte Aussagen zu Nullstellen, Intervallen und Lösungsmenge. Es ist unverzichtbar für formale Sicherheit, setzt jedoch algebraische Fähigkeiten voraus.
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78 **Didaktisch:**
79 Die Verfahren stehen in einer natürlichen Lernprogression:
80 Vom **konkreten Probieren (Tabelle)** über das **visuelle Erfassen (Graph)** hin zum **symbolischen Durchdringen (Rechnung)**. Ihr Zusammenspiel stärkt nachhaltiges Verständnis für das Verhalten ganzrationaler Funktionen.
81
82 {{/loesung}}
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86 **Zusammenfassung:**
87 - Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
88 - Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
89 - Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.
90
91 {{/loesung}}