Lösung Anwendung drei Verfahren

Aufgabenstellung:
Gegeben ist die Polynomfunktion \(f\) mit \(f(x) = x^4 - 4x^2 + 3\). Untersuche, für welche Werte von \(x\) die Ungleichung \(f(x) > 0\) erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:

Lösungsschritte:

1. Tabellarisches Verfahren (Teil 1).

Wertetabelle I.

Interpretation.
Die Funktionswerte sind überall nicht-negativ. Bei \(x = \pm 1\) ergibt sich jeweils \(f(x) = 0\). Zwischen den Nullstellen ist das Vorzeichenverhalten noch unklar.

2. Tabellarisches Verfahren (Teil 2).

Wertetabelle II.

Interpretation.
i) Wir kennen nun nicht nur die beiden Nullstellen \(x=\pm 1\), sondern wissen auch, dass es in den Intervallen \(]-2; -1,5[\) und \(]+1,5; +2[\) noch jeweils mindestens eine Nullstelle von \(f\) gibt, denn bei beiden Intervallen haben die Funktionswerte an den Rändern verschiedene Vorzeichen.
ii) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat die Polynomfunktion \(f\) (vom Grad 4) unter Berücksichtigung der Vielfachheiten nur bis zu 4 reelle Nullstellen. Also sind alle Nullstellen von \(f\) einfach mit \(-2<x_1<-1,5\), \(x_2=-1\), \(x_3=+1\) und \(+1,5<x_4<2\).
iii) Also gilt \(f(x)>0\) für alle \(x<x_1\), für alle \(x_2<x<x_3\) und für alle \(x>x_4\).

3. Graphische Skizze:

i) Der Graph von \(f\) ist symmetrisch zur y-Achse, denn \(f\) ist gerade, denn die im Funktionsterm der Polynomfunktion \(f\) auftretenden x-Potenzen sind allesamt gerade.
ii) Der Graph von \(f\) kommt von links oben und geht nach rechts oben, denn die Vergleichsfunktion von \(f\) ist die Potenzfunktion \(g\) mit \(g(x)=x^4\).
iii) Der Graph von \(f\) schneidet der Wertetabelle gemäß die x-Achse bei \(x_1\) zwischen -2 und -1,5 (mit VZW +/-), bei \(x_2=-1\) (mit VZW -/+), bei \(x_3=+1\) (mit VZW +/-) und bei \(x_4\) zwischen +1,5 und +2 (mit VZW -/+).
iv) Also gilt \(f(x)>0\) für alle \(x<x_1\), für alle \(x_2<x<x_3\) und für alle \(x>x_4\).

4. Rechnerisches Verfahren:

i) Faktorisieren (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): \(f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3})\)
ii) Nullstellen (jeweils 1-fach): \(-\sqrt{3}\), \(-1\), \(+1\), \(+\sqrt{3}\)
iii) Vorzeichenanalyse://
iii.1) Wenn die Vielfachheiten aller Nullstellen bekannt sind, dann genügt auch das Globalverhalten bzw. eine Teststelle.
iii.2) Naives Vorgehen: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine Teststelle und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.

iv) Gesuchte Lösung:
Es ist \(f(x) > 0\) erfüllt für alle \(x\in \mathbb{L}\quad =\quad ]-\infty; -\sqrt{3}[ \quad\cup\quad ]-1; +1[ \quad\cup\quad ]\sqrt{3}; +\infty[\)

Anmerkung:
- Das tabellarische Verfahren zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
- Das graphische Verfahren unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
- Das rechnerische Verfahren liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.