Lösung Anwendung drei Verfahren

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/04/07 01:49

Aufgabenstellung:
Gegeben ist die Polynomfunktion mit f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 . Untersuche, für welche Werte von die Ungleichung f(x) > 0 erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:

Lösungsschritte:

Tabellarisches Verfahren (Teil 1).

Wertetabelle I.

Interpretation.
Die Funktionswerte sind überall nicht-negativ. Bei $x = \pm 1$ ergibt sich jeweils f(x) = 0 . Zwischen den Nullstellen ist das Vorzeichenverhalten noch unklar.

2. Tabellarisches Verfahren (Teil 2).

Wertetabelle II.



Vorzeichen von

Interpretation.
i) Wir kennen nun nicht nur die beiden Nullstellen $x=\pm 1$ , sondern wissen auch, dass es in den Intervallen ]-2; -1,5[ und ]+1,5; +2[ noch jeweils mindestens eine Nullstelle von gibt, denn bei beiden Intervallen haben die Funktionswerte an den Rändern verschiedene Vorzeichen.
ii) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat die Polynomfunktion (vom Grad 4) unter Berücksichtigung der Vielfachheiten nur bis zu 4 reelle Nullstellen. Also sind alle Nullstellen von einfach mit -2<x_1<-1,5 , x_2=-1 , x_3=+1 und +1,5<x_4<2 .
iii) Also gilt f(x)>0 für alle x<x_1 , für alle x_2<x<x_3 und für alle x>x_4 .

3. Graphische Skizze:

i) Der Graph von ist symmetrisch zur y-Achse, denn ist gerade, denn die im Funktionsterm der Polynomfunktion auftretenden x-Potenzen sind allesamt gerade.
ii) Der Graph von kommt von links oben und geht nach rechts oben, denn das Globalverhalten von ist das Globalverhalten der Potenzfunktion mit g(x)=x^4 .
iii) Der Graph von schneidet der Wertetabelle gemäß die x-Achse bei x_1 zwischen -2 und -1,5 (mit VZW +/-), bei x_2=-1 (mit VZW -/+), bei x_3=+1 (mit VZW +/-) und bei x_4 zwischen +1,5 und +2 (mit VZW -/+).
iv) Also gilt f(x)>0 für alle x<x_1 , für alle x_2<x<x_3 und für alle x>x_4 .

4. Rechnerisches Verfahren:

i) Faktorisieren (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): $f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3})$
ii) Nullstellen (jeweils 1-fach): $x_1=-\sqrt{3}$ , x_2=-1 , x_3=+1 , $x_4=+\sqrt{3}$
iii) Vorzeichenanalyse.
iii.1) Wenn die Vielfachheiten aller Nullstellen bekannt sind, dann genügt auch das Globalverhalten bzw. eine Teststelle.
iii.2) Testwertverfahren: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine Teststelle und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.

Intervall	Testwert	Vorzeichen von

Gesuchte Lösung.
Die Ungleichung f(x) > 0 ist erfüllt für alle in:

Lösungsmenge.
$\mathbb{L} =$ Vereinigung der folgenden offenen Intervalle:
i) „kleiner als die kleinste Nullstelle“: $x < -\sqrt{3}$
ii) „zwischen –1 und 1“: -1 < x < 1
iii) „größer als die größte Nullstelle“: $x > \sqrt{3}$
Formal: $\mathbb{L} = ]-\infty,\ -\sqrt{3}[ \cup ]-1,\ 1[ \cup ]\sqrt{3},\ \infty[$

Anmerkung: Vergleich der Verfahren
- Das tabellarische Verfahren bietet erste Einsichten: Es erlaubt, Vorzeichen zu erkunden und funktionale Zusammenhänge aufzubauen. Es bleibt jedoch punktuell und qualitativ.
- Das graphische Verfahren macht strukturelle Eigenschaften sichtbar: Symmetrie, Nullstellen, Anstiegsverhalten. Es visualisiert den Lösungsbereich und unterstützt Begriffsbildung.
- Das rechnerische Verfahren führt zur exakten Lösung: Es erlaubt die genaue Bestimmung aller Nullstellen und den präzisen Aufbau der Lösungsmenge. Dafür sind algebraische Fähigkeiten nötig.
Didaktisch ergänzen sich die Verfahren.
Sie bilden eine sinnvolle Progression – von konkreten Werten (Tabelle) über strukturierte Bilder (Graph) bis zur abstrakten Ableitung (Rechnung). Ihr Zusammenspiel fördert nachhaltiges Konzeptverständnis.