BPE 4.1 Exponentialfunktion und Eulersche Zahl

1  Exponentialfunktion  (2 min) 𝕃

Entscheide, ob der Term Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.

1. \(\frac{1}{8}(2(x-2))^3 + 1\)
2. \(\frac{1}{8}2^{3(x+1)}-1\)

2  e-Funktion im Vergleich  (5 min) 𝕃

Gegeben ist der Graph der Funktion \(f\) mit \(f(x) = e^x\).
Skizziere (ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle) die Graphen der Funktionen \(g\) und \(h\) mit \(g(x) = 2^x\) und \(h(x) = 3^x\) im Vergleich zum Graphen von \(f\).

3  Graphen  (8 min) 𝕃

Ordne die Funktionsgraphen den Funktionstermen zu und skizziere zudem in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für \(x<0\).
\(f(x)=1+2x\),   \(g(x)=1 + x^2\),   \(h(x)=(\frac{1}{2})^x\),   \(i(x)=\frac{1}{(x+1)^2}\),   \(j(x)=2^x\),   \(k(x)=1\).

4  GraphZuordnung2  (8 min)

Gegeben sind sechs Funktionsgleichungen und sechs Funktionsgraphen:
\( f(x)=1+2x,\quad g(x)=1+x^2,\quad h(x)=\bigl(\tfrac12\bigr)^x,\quad i(x)=\tfrac{1}{(x+1)^2},\quad j(x)=2^x,\quad k(x)=1.\)

1. Ordne jedem Funktionsgraphen die richtige Funktionsgleichung zu.
2. Skizziere in jedem Koordinatensystem zusätzlich den Teil des Graphen für \(x<0\).

5  Negative Basis  (4 min) 𝕋  𝕃

1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.

   x	2	1	0	-1	-2	-1,5
   \((-2)^x\)

2. Erläutere, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen \(q>0\), \(q\ne 1\) definiert werden.

6  Basiswechsel verstehen  (4 min) 𝕃

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=2^x\). Gib die Funktionsgleichung in der Form \(f(x)=4^{kx}\) mit geeignetem \(k\) an.

7  Basiswechsel  (10 min) 𝕃

Führe bei folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.

1. \(f(x)=(\frac{1}{4})^x\), neue Basis \(b=2\)
2. \(f(x)=9^x\), neue Basis \(b=\frac{1}{3}\)
3. \(f(x)=5^{2x+1}\), neue Basis \(b=25\)

8  Eulersche Zahl  (6 min) 𝕃

Gegeben sind folgende Zahlterme:
\(a_1=2\)
\(a_2=2+\frac{1}{1\cdot 2}\)
\(a_3=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}\)
\(a_4=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\)

1. Welches Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster für \( a_5, a_6\) fort und berechne die beiden Werte.
2. Die Eulersche Zahl \( e\) ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib \( e\) so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.

9  Natürliche Basis anschaulich  (5 min)

Gegeben ist die Exponentialfunktion \(f\) mit \(f(x) = q^x\).

1. Berechne für verschiedene Werte von \(q \in \{2; 2{,}5; 3; e\}\) den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall \([0; 0{,}1]\). Trage die Werte in eine geeignete Tabelle ein.
2. Welche Besonderheit stellst du für \(q = e\) fest?
3. Erkläre, warum man \(e\) als „natürliche“ Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet.