BPE 4.1 Exponentialfunktion und Eulersche Zahl

Version 79.3 von Holger Engels am 2025/02/26 13:33

Inhalt

AFB I Exponentialfunktion Graphen Basiswechel Eigenschaften der e-Funktion
AFB II Negative Basis Basiswechsel verstehen e-Funktion im Vergleich Eulersche Zahl

K4 Ich kann eine Exponentialfunktion am Funktionsterm erkennen
K4 Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
K6 Ich kann die Eulersche Zahl auf zwei Nachkommastellen genau angeben
K1 Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
K4 K5 Ich kann einen Basiswechsel durchführen

GeoGebra-Buch

Aufgabe 1 Exponentialfunktion 𝕃

Entscheide jeweils, ob es sich bei dem Funktionsterm um einen Exponentialfunktionsterm handelt.

$f(x) = \frac{1}{8}(2(x-2))^3 + 1$
$f(x) = \frac{1}{8}2^{3(x+1)}-1$

AFB I	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 2 min
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Aufgabe 2 Graphen

Ordne die Funktionsgraphen den Funktionstermen zu und skizziere jeweils im Schaubild den Abschnitt für x<0.
f(x)=1+2x g(x)=1 + x^2 $h(x)=(\frac{1}{2})^x$ $i(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$ j(x)=2^x k(x)=1
graph f.svg graph g.svg graph h.svg graph p.svg graph q.svg graph r.svg

AFB I	Kompetenzen K4	Bearbeitungszeit 8 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 3 Negative Basis 𝕋 𝕃

Fülle die Wertetabelle aus soweit wie möglich.

x	2	1	0	-1	-2	-1,5

Erläutere, warum wir die Exponentialfunktion nur für positive Basen definieren.

AFB II	Kompetenzen K1 K6	Bearbeitungszeit 4 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 4 Basiswechsel verstehen 𝕃

Die Funktion ist gegeben mit f(x)=2^x . Substituiere die Basis 2 durch 4^k mit einem geeigneten k, sodass eine identische Funktion entsteht.

AFB II	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 4 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 5 Basiswechel 𝕃

Wandle die gegeben Exponentialfunktion in die entsprechende Basis um, z.B. $f(x)=(\frac{1}{2})^x= 2^{-x}$ ist eine Umwandlung in die neue Basis b=2
$f(x)=(\frac{1}{4})^x$ in die neue Basis b=2
$f(x)=(\frac{3}{18})^x$ in die neue Basis b=6
f(x)=9^x in die neue Basis $b=\frac{1}{3}$
$f(x)=5^{2x+1}$ in die neue Basis b=25
$f(x)=(\frac{16}{54})^{2x}$ in die neue Basis $b=\frac{3}{2}$

AFB I	Kompetenzen K4	Bearbeitungszeit 10 min
Quelle Niklas Wunder, Katharina Schneider		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 6 e-Funktion im Vergleich

Gegeben ist der Graph zu f(x)=e^x . Skizziere deine Vermutung wie die Graphen von g(x)=2^x und h(x)=3^x verlaufen.
(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)

AFB II	Kompetenzen K4	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle Niklas Wunder, Katharina Schneider		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 7 Eigenschaften der e-Funktion 𝕃

Erstelle einen Steckbrief für die e-Funktion f(x)=e^x mit allen relevanten Eigenschaften.

AFB I	Kompetenzen K4	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle Niklas Wunder, Katharina Schneider		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 8 Eulersche Zahl

Gegeben sind die Zahlterme
a_1=2
$a_2=2+\frac{1}{1\cdot 2}$
$a_3=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}$
$a_4=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}$

Welchem Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster fort und berechne .
Die eulersche Zahl ist gegben durch $e= 2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+ ...$ , d.h durch Fortsetzung des Musters berechnet man die Zahl auf immer mehr Nachkommastellen. Gib die Zahl so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.

Hinweis: Für die Zahlterme a_7, a_8, ... erhältst du eine beliebige Genauigheit.

AFB II	Kompetenzen K1 K6	Bearbeitungszeit 12 min
Quelle Niklas Wunder, Katharina Schneider		Lizenz k.A.

Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

	K1	K4	K5	K6
I	0	3	1	0
II	2	1	1	2
III	0	0	0	0

Bearbeitungszeit gesamt: 50 min

Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst