BPE 4.1 Exponentialfunktion und Eulersche Zahl

1  Exponentialfunktion  (2 min) 𝕃

Entscheide jeweils, ob es sich bei dem Funktionsterm um einen Exponentialfunktionsterm handelt.

1. \(f(x) = \frac{1}{8}(2(x-2))^3 + 1\)
2. \(f(x) = \frac{1}{8}2^{3(x+1)}-1\)

2  e-Funktion im Vergleich  (5 min) 𝕃

Gegeben ist der Graph zu \(f(x)=e^x\). Skizziere deine Vermutung wie die Graphen von \(g(x)=2^x\) und \(h(x)=3^x\) verlaufen.
(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)

3  Graphen  (8 min) 𝕃

Ordne die Funktionsgraphen den Funktionstermen zu und skizziere jeweils im Schaubild den Abschnitt für x<0.
\(f(x)=1+2x\)   \(g(x)=1 + x^2\)   \(h(x)=(\frac{1}{2})^x\)   \(i(x)=\frac{1}{(x+1)^2}\)   \(j(x)=2^x\)   \(k(x)=1\)

4  Negative Basis  (4 min) 𝕋  𝕃

Fülle die Wertetabelle aus soweit wie möglich.

Erläutere, warum wir die Exponentialfunktion nur für positive Basen definieren.

5  Basiswechsel verstehen  (4 min) 𝕃

Die Funktion \(f\) ist gegeben mit \(f(x)=2^x\). Gib die Funktion \(f\) in der Form \(f(x)=4^{kx}\) mit einem geeigneten k an.

6  Basiswechel  (10 min) 𝕃

Führe bei folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.

1. \(f(x)=(\frac{1}{4})^x\), neue Basis \(b=2\)
2. \(f(x)=9^x\), neue Basis \(b=\frac{1}{3}\)
3. \(f(x)=5^{2x+1}\), neue Basis \(b=25\)

7  Eigenschaften der e-Funktion  (5 min) 𝕃

Erstelle einen Steckbrief für die e-Funktion \(f(x)=e^x\) mit allen relevanten Eigenschaften.

8  Eulersche Zahl  (12 min) 𝕃

Gegeben sind die Zahlterme
\( a_1=2\)
\( a_2=2+\frac{1}{1\cdot 2}\)
\( a_3=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}\)
\( a_4=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\)

1. Welchem Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster fort und berechne \( a_5, a_6\).
2. Die eulersche Zahl \( e\) ist gegeben durch \( e= 2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+ ...\), d.h durch Fortsetzung des Musters berechnet man die Zahl \( e\) auf immer mehr Nachkommastellen. Gib die Zahl \( e\) so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.

Hinweis: Für die Zahlterme \( a_7, a_8, ...\) erhältst du eine beliebige Genauigheit.