BPE 4.2 Transformationen

1  Term und Skizze  (12 min)

Der Graph der Funktion f mit \(f(x)=2^x\) wird jeweils durch eine oder mehrere Transformationen verändert. Stelle den zugehörigen Funktionsterm auf und skizziere den neuen Graphen.

1. Verschiebung in y-Richtung um 3
2. Streckung in y-Richtung mit dem Faktor \(-\frac{1}{2}\) und Verschiebung in y-Richtung um -5
3. Spiegelung an der y-Achse; Streckung in y-Richtung mit dem Faktor 1,5; Verschiebung in y-Richtung um 1
4. Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 0,5 und Verschiebung in y-Richtung um -2

2  Transformationen aus Schaubild  (5 min) 𝕃

Gegeben ist der Graph der Funktion f mit \(f(x)=a\cdot2^{\pm x}+d\). Beschreibe, durch welche Transformationen der Graph von f aus dem Graphen der Funktion g mit \(g(x)=2^x\) hervorgeht, und stelle den zugehörigen Funktionsterm auf.

3  Transformationen aus Funktionsterm  (12 min)

Skizziere das Schaubild von \( g(x) \) und beschreibe wie \(K_g \) aus dem Graphen von \( f \) mit \( f(x)=e^x \) entsteht.

1. \( f(x)=e^x-2 \)
2. \( g(x)=e^{3x}+2,5 \)
3. \( h(x)=-1,5e^x \)
4. \( i(x)=e^{-0,5x}+1 \)

4  Asymtoten bestimmen  (12 min)

Skizziere jeweils das Schaubild der Funktion und bestimme die Gleichung der Asymptoten.

1. \( f(x)=e^x-1,5 \)
2. \( g(x)=e^{-x}+\pi \)
3. \( h(x)=3^{-x}+6^{-x} \)
4. \( i(x)=(\frac{2}{3})^x\)

5  Analogie 1  (5 min) 𝕃

Gegeben sind die Schaubilder K_f und K_g und die Funktionsterme \(f(x)=a\cdot2^x\) und \(g(x)=2^{x-c}\).

1. Bestimme die Parameter a und c.
2. Gib Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede der beiden Graphen und ihrer Funktionsterme an. Begründe deine Beobachtung.

6  Analogie 2  (5 min) 𝕃

Die Gleichung der Funktion \(f\) lautet \(f(x)=2^x\). Die Funktion \(g\) entsteht aus \(f\) durch horizontale Streckung um den Faktor 1/2.

1. Bestimme den Funktionsterm von \(g\)?
2. Ermittle einen weiteren Funktionsterm \(h\) des Graphens \(K_g\) in der Form \(h(x)=q^x\).

7  Aufstellen eines Funktionstermes  (8 min) 𝕋  𝕃

1. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion \(f: x \mapsto a \cdot b^x\) mit \( a,b \in \mathbb{R}^+\). Bestimme passende Werte von \(a\) und \(b\).
2. Der Graph der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(g: x \mapsto 3^x\) wird um 2 in negative x-Richtung verschoben. Zeige, dass der dadurch entstandene Graph durch eine Streckung des Graphen von \(g\) in y-Richtung erzeugt werden kann.

8  Transformationen und mehr  (8 min)

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=3e^{2x}-4\).

1. Beschreibe den Verlauf des Graphen \(K_f\).
2. Wie entsteht \(K_f\) aus dem Schaubild der Funktion \(g\) mit \(g(x)=e^x\)?
3. Zeige: Für \(x<-1\) hat jeder Punkt \(P\in K_f\) einen Abstand von höchstens 4 und mindestens 3,5 LE von der x-Achse.
4. Zeige, dass die Nullstelle von \(f\) im Intervall \([0,1; 0,2]\) liegt.