BPE 4.2 Transformationen

1  Funktionsterm aus Transformationen (NEU)  (15 min)

Gegeben ist die Exponentialfunktion f mit der Funktionsgleichung \(f(x)=2^x\). Die folgenden Graphen \(K_{g_1}\), \(K_{g_2}\) und \(K_{g_3}\) entstehen jeweils aus dem Graphen \(K_f\) durch Transformationen:

Bearbeite zu jedem der drei Fälle folgende Teilaufgaben:

1. Gib die Funktionsgleichungen von g₁, g₂ und g₃ an.
2. Skizziere die Graphen \(K_{g_1}\), \(K_{g_2}\) und \(K_{g_3}\) im Vergleich zu \(K_f\) in einem gemeinsamen Koordinatensystem.

2  Funktionsterm aus Transformationen  (12 min) 𝕃

Der Graph der Funktion f mit \(f(x)=2^x\) wird jeweils durch eine oder mehrere Transformationen verändert.
Stelle den zugehörigen Funktionsterm auf und skizziere den neuen Graphen.

1. Streckung in y-Richtung mit dem Faktor \(-\frac{1}{2}\) und Verschiebung in y-Richtung um \(-5\)
2. Spiegelung an der y-Achse, Streckung in y-Richtung mit dem Faktor \(1{,}5\) und Verschiebung in y-Richtung um \(1\)
3. Streckung in x-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) und Verschiebung in y-Richtung um \(-2\)

3  Transformationen aus Schaubild  (5 min) 𝕃

Gegeben ist der Graph der Funktion g mit \(g(x)=a\cdot2^{\pm x}+d\).

1. Beschreibe, durch welche Transformationen der Graph von g aus dem Graphen der Funktion f mit \(f(x)=2^x\) hervorgeht.
2. Gib die Funktionsgleichung von g an.

4  Skizzieren  (15 min) 𝕃

Gegeben sind die Funktionen f, g, h und i mit \(f(x)=e^x-2\), \(g(x)=-e^x+2\), \(h(x)=e^{-x-2}\) und \(i(x)=-e^{-x}+1\).

1. Skizziere die Graphen der Funktionen in ein gemeinsames Schaubild.
2. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen den dargestellten Graphen hinsichtlich ihrer Lage, Symmetrie und Verschiebung.

5  Analogie 1  (5 min) 𝕃

Gegeben sind die Funktionen \(f\) und \(g\) mit \(f(x)=a\cdot2^x\) und \(g(x)=2^{x-c}\) sowie ihre Graphen \(K_f\) und \(K_g\).

1. Bestimme die Parameter a und c.
2. Gib Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede der beiden Graphen und ihrer Funktionsterme an. Begründe deine Beobachtung.

6  Analogie 2  (5 min) 𝕃

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=2^x\). Der Graph der Funktion \(g\) entsteht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch Streckung mit Faktor 1/2 in x-Richtung.

1. Bestimme den Funktionsterm von \(g\).
2. Ermittle einen weiteren Funktionsterm \(h\) des Graphens \(K_g\) in der Form \(h(x)=q^x\).

7  Aufstellen eines Funktionstermes  (8 min) 𝕋  𝕃

1. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion \(f: x \mapsto a \cdot b^x\) mit \( a,b \in \mathbb{R}^+\). Bestimme passende Werte von \(a\) und \(b\).
2. Der Graph der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(g: x \mapsto 3^x\) wird um 2 in negative x-Richtung verschoben. Zeige, dass der dadurch entstandene Graph durch eine Streckung des Graphen von \(g\) in y-Richtung erzeugt werden kann.

8  Nullstelle  (8 min) 𝕃

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=3e^{2x}-4\).

1. Begründe, dass die Funktion \(f\) eine Nullstelle haben muss.
2. Zeige, dass die Nullstelle von \(f\) im Intervall \([0,1; 0,2]\) liegt.

9  Umkehraufgabe  (8 min) 𝕃

Das Schaubild der Funktion \(g\) mit \(g(x)=2^{x+4}\) ist aus dem Schaubild der Funktion \(f\) entstanden, indem dieses zunächst um zwei nach links verschoben und dann horizontal mit Faktor 2 gestreckt wurde. Bestimme den Funktionsterm der Ausgangsfunktion \(f\).