BPE 4.5 Logarithmus und Exponentialgleichungen
K5 Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
K5 Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
K1 Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
K5 Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
K4 K6 Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
K4 K6 Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
Aufgaben:
– Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
Lösen von Exponentialgleichungen:
– Vokabelheft für Umkehroperationen
– Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten
– Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten
– Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten
- Näherungslösungen
Gleichungen:
x+y = e > y = e - x> y = e / x
x*y = e
e^y = x > y = ln
1 Gleichungen aufstellen I (5 min) 𝕃
Nenne eine passende Gleichung. Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich \( \ldots \)
- \( \ldots \) die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung \( x = \frac{2}{5} \) erhalte.
- \( \ldots \) von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung \( x = \sqrt[5]{2} \) erhalte.
- \( \ldots \) die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung \( x = \log_5(2) \) erhalte.
| AFB II - K5 | Quelle Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner |
2 Gleichungen aufstellen II (10 min) 𝕃
Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei \( a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} \) gelten soll:
\( c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. \)
| AFB I - K2 K5 | Quelle Martin Rathgeb, Dirk Tebbe |
3 Darstellungen zuordnen (5 min) 𝕃
Ordne zu!
| Implizite Gleichungen | Explizite Gleichungen | Wertetabellen | Schaubilder |
Gleichungen (implizite und explizite):
- \( x^3 = 8 \)
- \( 2^x = 8 \)
- \( x = \sqrt[3]{8=} \)
- \( x = \log_{2}(8) \)
- Wertetabellen:
x 0 1 2 3 y 0 1 8 27
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 0 | 1 | 8 | 27 |
- zwei Graphen
| AFB I - K5 | Quelle Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe |
4 Logarithmen auswerten (10 min) 𝕋 𝕃
Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
- \( \log_{10}(0.1) \)
- \( \log_{100}(0.1) \)
- \( \log_{0.1}(0.1) \)
- \( \log_{10}(1000) \)
- \( \log_{10}(50) \)
- \( \log_{0.1}(1000) \)
- \( \log_{10}(1) \)
- \( \log_{100}(10) \)
- \( \log_{10}(10) \)
| AFB II - K4 K5 | Quelle Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe |
5 Exponentialgleichungen lösen (graphisch vs rechnerisch) (5 min)
Ermittle die Lösung der Gleichung \( 2^x = 5 \) graphisch und rechnerisch.
| AFB I - K5 | Quelle Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe |
6 Exponentialgleichungen Lösbarkeit (graphisch vs rechnerisch) (6 min)
Gegeben sind die beiden Gleichungen \( x^2 = a \) und \( 2^x = a \) für \( a \in \mathbb{R} \). Untersuche ihre Lösbarkeit in Abhängigkeit von \( a \).
\( c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:. \)
| AFB I - K5 | Quelle Martin Rathgeb |
7 Gleichungstypen einstudieren (5 min) 𝕃
Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
| Typ 1 Umkehroperationen | Typ 2 Ausklammern | Typ 3 Substitution |
| \(x^2 = 2\) | \(x^2-2x = 0\) | \(x^4-40x^2+144 = 0\) |
| \(x^4 = e\) | \(2x^e = x^{2e}\) | \(x^{2x}+x^e+1 = 0\) |
| \(e^x = e\) | \(2e^x = e^{2x}\) | \(10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0\) |
| \(3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}\) | \(x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0\) | \(3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}\) |
| AFB II - K5 | Quelle Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner |
Nenne eine passende Gleichung. Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich \( \ldots \)
- \( \ldots \) die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung \( x = \frac{2}{5} \) erhalte.
- \( \ldots \) von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung \( x = \sqrt[5]{2} \) erhalte.
- \( \ldots \) die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung \( x = \log_5(2) \) erhalte.
{{/aufgabe}}
8 Exponentialgleichungen (Logarithmieren) (15 min) 𝕃
Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
- \( 4\cdot 0,5^x=100 \)
- \( e^x=3 \)
- \( 2e^x-4=8 \)
- \( 2e^{-0.5x}=6\)
- \( e^x=-5 \)
| AFB I - K5 | Quelle Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe |
9 Exponentialgleichungen (Nullproduktsatz) (12 min)
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
- \( 2x=x^{2} \)
- \( 2x^e=x^{2e} \)
- \( 2e^x=e^{2x} \)
| AFB II - K5 | Quelle Martin Rathgeb |
10 Exponentialgleichungen (Substitution) (12 min) 𝕃
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
- \( 2x-3=x^{2} \)
- \( 2x^e-3=x^{2e} \)
- \( 2e^x-3=e^{2x} \)
- \( 2e^{x-3}=e^{2x-3} \)
| AFB III - K5 | Quelle Martin Rathgeb |
11 Exponentialgleichungen (5 min)
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen
- \( 3^{x+1}=81 \)
- \( 5^{2x}=25^{2x+2} \)
- \( 10^{x}=500\)
- \( 2^{x+3}=4^{x-1} \)
| AFB I - K5 | Quelle Niklas Wunder |
12 Exponentialgleichungen graphisch (5 min)
Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.
- \( 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 \)
- \( 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 \)
- \( 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 \)
- \( 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x \)
| AFB II - K4 K6 | Quelle Niklas Wunder |