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Lösung Gleichungstypen einstudieren

Zuletzt geändert von Kim Fujan am 2025/05/21 11:44

Typ 1: Umkehroperationen

$x=\pm \sqrt{2}$
$x= \pm \sqrt[4]{e}$
durch Exponentenvergleich
$3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}\qquad \left| \cdot e^x$
$3e^{2x} = \frac{1}{2} \qquad \left| :3$
$2x= ln\left( \frac{1}{6} \right)\qquad \left| :2$
$x= \frac{1}{2}ln\left( \frac{1}{6} \right)$

Typ 2: Ausklammern

$x\cdot (x-2) = 0$
$x_1=0 \quad , \quad x_2=2$
$x^e \cdot(2-x^e)=0$
$x_1=0 \quad , \quad x_2=\sqrt[e]{2}$
$e^x \cdot (2-e^x) = 0$
$e^x \neq 0 \quad , \quad x_1=ln(2)$
$3^x\cdot (x+4) = 0$
$3^x \neq 0 \quad , \quad x_1=-4)$

Typ 2: Substitution

Substitution
$u_1=-4 \quad , \quad u_2=36$
Resubstitution:
$x^2 = 4 \longleftrightarrow x_{1,2}=\pm2$
$x^2 = 36 \longleftrightarrow x_{3,4}=\pm6$
$x^{2e}+x^e+1 = 0$
Substitution
abc-Formel liefert keine Lösung, da die Diskriminante negativ ist.
$10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0$ durch Exponentenvergleich
Substitution $10^{3x} = u$

Resubstitution:
$10^{3x}=1 \longleftrightarrow x_{1}=0$
$3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}$
$3e^x-1-\frac{1}{3}e^{-x}=0$
$e^{-x}\cdot(3e^{2x}-e^x-\frac{1}{3})$
Substitution
$3u^2-u - \frac{1}{3}=0$
$u_1=\frac{1+\sqrt{5}}{6} \quad , \quad u_2=\frac{1-\sqrt{5}}{6}$
Resubstitution:
$e^x = \frac{1+\sqrt{5}}{6} \longleftrightarrow x_1=ln \left( \frac{1+\sqrt{5}}{6} \right)$
$e^x = \frac{1-\sqrt{5}}{6} \longleftrightarrow$ keine weitere Lösung