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Version 133.1 von Kim Fujan am 2025/05/20 10:16
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
5 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
6 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
7 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
9
10 {{lehrende}}
11 Aufgaben:
12 – Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
13 Lösen von Exponentialgleichungen:
14 – Vokabelheft für Umkehroperationen
15 – Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten
16 – Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten
17 – Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten
18 - Näherungslösungen
19
20 Gleichungen:
21 {{formula}}x\pm y = e \Rightarrow y = e \mp x{{/formula}}
22 {{formula}}x*y = e \Rightarrow y = e / x{{/formula}}
23 {{formula}}e^y = x \Rightarrow y = \ln(x){{/formula}}
24 {{/lehrende}}
25
26 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
27 Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
28 (% class="abc" %)
29
30 1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
31 1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
32 1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
33 1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
34 1. {{formula}} 4\cdot 5^x=100 {{/formula}}
35 {{/aufgabe}}
36
37 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
38 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
39 (% class="abc" %)
40 1. {{formula}} 2x-x^{2}=0 {{/formula}}
41 1. {{formula}} 2e^x-e^{2x}=0 {{/formula}}
42 1. {{formula}} \frac{1}{3}e^x=e^{2x} {{/formula}}
43 1. {{formula}} 3e^{-x}=2e^{2x} {{/formula}}
44 1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
45
46 {{/aufgabe}}
47
48 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
49 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
50 (% class="abc" %)
51 1. {{formula}} -x^{2}+2x-3=0 {{/formula}}
52 1. {{formula}} -e^{2x}+2e^x-3=0 {{/formula}}
53 1. {{formula}} e^x+2e^{\frac{1}{2}x}-3=0 {{/formula}}
54 1. {{formula}} e^x-2-\frac{15}{e^x}}=0 {{/formula}}
55 1. {{formula}} 2e^{4x}=e^{2x}+3 {{/formula}}
56 {{/aufgabe}}
57
58 {{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
59 Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
60
61 [[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
62
63 (% class="abc" %)
64 1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
65 1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
66 1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
67 1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
68 1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
69 1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
70 1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
71 1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
72 1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
73 {{/aufgabe}}
74
75 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
76 (% class="abc" %)
77 Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} e^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
78 {{/aufgabe}}
79
80 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
81 Nenne jeweils eine passende Gleichung:
82
83 Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich …
84 (% class="abc" %)
85 1. … die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
86 1. … von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
87 1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
88 {{/aufgabe}}
89
90
91 {{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
92 Ordne zu:
93 (% class="border slim" %)
94 |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
95 |{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((
96 |x|0|1|2|3
97 |y|1|2|4|8
98 )))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
99 |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
100 |x|0|1|2|3
101 |y|0|1|8|27
102 )))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
103 |{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
104 |x|0|1|2|3
105 |y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
106 )))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
107 |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}} |(((
108 |x|0|1|2|3
109 |y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
110 )))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]
111 {{/aufgabe}}
112
113
114 {{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
115 Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.
116 (%class="abc"%)
117 1. (((
118 (%class="border slim"%)
119 |(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}
120
121 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
122 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-4x^e+3=0{{/formula}}
123
124 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
125 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}
126
127 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
128 ⬋
129 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-4u+3=0{{/formula}}
130 (((
131 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
132 |
133
134
135 )))
136
137 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
138 |(%align="center"%)(((⬋
139 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
140 (((
141 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
142 |
143
144
145 )))
146 )))|(%align="center"%)(((🠗
147 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
148 (((
149 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
150 |
151
152
153 )))
154 )))|(%align="center"%)(((⬊
155 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
156 (((
157 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
158 |
159
160
161 )))
162 )))
163 )))
164 1. (((
165 (%class="border slim"%)
166 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-3x^{-1}=0{{/formula}}
167
168 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
169 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-3x^e=0{{/formula}}
170
171 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
172 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-3e^x=0{{/formula}}
173
174 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
175 ⬋
176 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-3u=0{{/formula}}
177 (((
178 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
179 |
180
181
182 )))
183
184 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
185 |(%align="center"%)(((⬋
186 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
187 (((
188 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
189 |
190
191
192 )))
193 )))|(%align="center"%)(((🠗
194 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
195 (((
196 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
197 |
198
199
200 )))
201 )))|(%align="center"%)(((⬊
202 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
203 (((
204 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
205 |
206
207
208 )))
209 )))
210 )))
211 1. (((
212 (%class="border slim"%)
213 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-2x^{-1}+3=0{{/formula}}
214
215 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
216 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-2x^e+3=0{{/formula}}
217
218 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
219 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-2e^x+3=0{{/formula}}
220
221 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
222 ⬋
223 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-2u+3=0{{/formula}}
224 (((
225 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
226 |
227
228
229 )))
230
231 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
232 |(%align="center"%)(((⬋
233 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
234 (((
235 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
236 |
237
238
239 )))
240 )))|(%align="center"%)(((🠗
241 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
242 (((
243 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
244 |
245
246
247 )))
248 )))|(%align="center"%)(((⬊
249 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
250 (((
251 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
252 |
253
254
255 )))
256 )))
257 )))
258 {{/aufgabe}}
259
260 {{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
261 Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
262
263 (% class="border slim " %)
264 |Typ 1 (Umkehroperationen)|Typ 2 (Ausklammern)|Typ 3 (Substitution)
265 |{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
266 |{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2e}+x^e+1 = 0{{/formula}}
267 |{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
268 |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
269 {{/aufgabe}}
270
271 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
272 Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
273 {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
274 {{/aufgabe}}
275
276 {{seitenreflexion/}}