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Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/03/13 07:51
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
5 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
6 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
7 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
9
10 {{lehrende}}
11 Aufgaben:
12 – Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
13 Lösen von Exponentialgleichungen:
14 – Vokabelheft für Umkehroperationen
15 – Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten
16 – Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten
17 – Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten
18 - Näherungslösungen
19
20 Gleichungen:
21 {{formula}}x\pm y = e \Rightarrow y = e \mp x{{/formula}}
22 {{formula}}x*y = e \Rightarrow y = e / x{{/formula}}
23 {{formula}}e^y = x \Rightarrow y = \ln(x){{/formula}}
24 {{/lehrende}}
25
26 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
27 Nenne jeweils eine passende Gleichung:
28
29 Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich …
30 (% class="abc" %)
31 1. … die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
32 1. … von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
33 1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
34 {{/aufgabe}}
35
36 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="I" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
37 Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
38 {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
39 {{/aufgabe}}
40
41 {{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
42 Ordne zu:
43 (% class="border slim" %)
44 |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
45 |{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((
46 |x|0|1|2|3
47 |y|1|2|4|8
48 )))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
49 |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
50 |x|0|1|2|3
51 |y|0|1|8|27
52 )))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
53 |{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
54 |x|0|1|2|3
55 |y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
56 )))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
57 |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}} |(((
58 |x|0|1|2|3
59 |y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
60 )))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]
61 {{/aufgabe}}
62
63 {{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
64 Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
65
66 [[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
67
68 (% class="abc" %)
69 1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
70 1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
71 1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
72 1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
73 1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
74 1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
75 1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
76 1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
77 1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
78 {{/aufgabe}}
79
80 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
81 (% class="abc" %)
82 Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} 2^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
83 {{/aufgabe}}
84
85 {{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
86 Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.
87 (%class="abc"%)
88 1. (((
89 (%class="border slim"%)
90 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}
91
92 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
93 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-4x^e+3=0{{/formula}}
94
95 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
96 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}
97
98 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
99 ⬋
100 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-4u+3=0{{/formula}}
101 (((
102 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
103 |
104
105
106 )))
107
108 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
109 |(%align="center"%)(((⬋
110 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
111 (((
112 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
113 |
114
115
116 )))
117 )))|(%align="center"%)(((🠗
118 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
119 (((
120 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
121 |
122
123
124 )))
125 )))|(%align="center"%)(((⬊
126 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
127 (((
128 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
129 |
130
131
132 )))
133 )))
134 )))
135 1. (((
136 (%class="border slim"%)
137 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-3x^{-1}=0{{/formula}}
138
139 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
140 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-3x^e=0{{/formula}}
141
142 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
143 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-3e^x=0{{/formula}}
144
145 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
146 ⬋
147 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-3u=0{{/formula}}
148 (((
149 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
150 |
151
152
153 )))
154
155 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
156 |(%align="center"%)(((⬋
157 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
158 (((
159 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
160 |
161
162
163 )))
164 )))|(%align="center"%)(((🠗
165 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
166 (((
167 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
168 |
169
170
171 )))
172 )))|(%align="center"%)(((⬊
173 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
174 (((
175 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
176 |
177
178
179 )))
180 )))
181 )))
182 1. (((
183 (%class="border slim"%)
184 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-2x^{-1}+3=0{{/formula}}
185
186 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
187 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-2x^e+3=0{{/formula}}
188
189 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
190 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-2e^x+3=0{{/formula}}
191
192 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
193 ⬋
194 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-2u+3=0{{/formula}}
195 (((
196 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
197 |
198
199
200 )))
201
202 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
203 |(%align="center"%)(((⬋
204 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
205 (((
206 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
207 |
208
209
210 )))
211 )))|(%align="center"%)(((🠗
212 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
213 (((
214 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
215 |
216
217
218 )))
219 )))|(%align="center"%)(((⬊
220 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
221 (((
222 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
223 |
224
225
226 )))
227 )))
228 )))
229 {{/aufgabe}}
230
231 {{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
232 Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
233
234 (% class="border slim " %)
235 |Typ 1 (Umkehroperationen)|Typ 2 (Ausklammern)|Typ 3 (Substitution)
236 |{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
237 |{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2x}+x^e+1 = 0{{/formula}}
238 |{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
239 |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
240 {{/aufgabe}}
241
242 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
243 Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
244 (% class="abc" %)
245 1. {{formula}} 4\cdot 0,5^x=100 {{/formula}}
246 1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
247 1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
248 1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
249 1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
250 {{/aufgabe}}
251
252 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Nullproduktsatz)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
253 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
254 (% class="abc" %)
255 1. {{formula}} 2x=x^{2} {{/formula}}
256 1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
257 1. {{formula}} 2e^x=e^{2x} {{/formula}}
258 {{/aufgabe}}
259
260 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
261 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
262 (% class="abc" %)
263 1. {{formula}} 2x-3=x^{2} {{/formula}}
264 1. {{formula}} 2x^e-3=x^{2e} {{/formula}}
265 1. {{formula}} 2e^x-3=e^{2x} {{/formula}}
266 1. {{formula}} 2e^{x-3}=e^{2x-3} {{/formula}}
267 {{/aufgabe}}
268
269 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
270 Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen
271 (% class="abc" %)
272 1. {{formula}} 3^{x+1}=81 {{/formula}}
273 1. {{formula}} 5^{2x}=25^{2x+2} {{/formula}}
274 1. {{formula}} 10^{x}=500{{/formula}}
275 1. {{formula}} 2^{x+3}=4^{x-1} {{/formula}}
276 {{/aufgabe}}
277
278 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen graphisch" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
279 Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.
280 (% class="abc" %)
281 1. {{formula}} 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
282 1. {{formula}} 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
283 1. {{formula}} 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 {{/formula}}
284 1. {{formula}} 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x {{/formula}}
285
286 [[image:ExpGlei.svg||width="600px"]]
287 {{/aufgabe}}
288
289 {{seitenreflexion/}}