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Version 147.1 von Martina Wagner am 2025/05/20 13:53
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
5 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
6 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
7 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
9
10 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
11 Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
12 (% class="abc" %)
13
14 1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
15 1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
16 1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
17 1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
18 1. {{formula}} 4\cdot 5^x=100 {{/formula}}
19 {{/aufgabe}}
20
21 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
22 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
23 (% class="abc" %)
24 1. {{formula}} 2x-x^{2}=0 {{/formula}}
25 1. {{formula}} 2e^x-e^{2x}=0 {{/formula}}
26 1. {{formula}} \frac{1}{3}e^x=e^{2x} {{/formula}}
27 1. {{formula}} 3e^{-x}=2e^{2x} {{/formula}}
28 1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
29
30 {{/aufgabe}}
31
32 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
33 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
34 (% class="abc" %)
35 1. {{formula}} -x^{2}+2x-3=0 {{/formula}}
36 1. {{formula}} -e^{2x}+2e^x-3=0 {{/formula}}
37 1. {{formula}} e^x+2e^{\frac{1}{2}x}-3=0 {{/formula}}
38 1. {{formula}} e^x-2-\frac{15}{e^x}}=0 {{/formula}}
39 1. {{formula}} 2e^{4x}=e^{2x}+3 {{/formula}}
40 {{/aufgabe}}
41
42 {{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
43 Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
44
45 [[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
46
47 (% class="abc" %)
48 1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
49 1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
50 1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
51 1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
52 1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
53 1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
54 1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
55 1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
56 1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
57 {{/aufgabe}}
58
59 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
60 (% class="abc" %)
61 Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} e^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
62 {{/aufgabe}}
63
64 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
65 Nenne jeweils eine passende Gleichung:
66
67 Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich …
68 (% class="abc" %)
69 1. … die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
70 1. … von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
71 1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
72 {{/aufgabe}}
73
74 {{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
75 Ordne zu:
76 (% class="border slim" %)
77 |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
78 |{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}}|(((
79 |x|0|1|2|3
80 |y|1|2|4|8
81 )))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
82 |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
83 |x|0|1|2|3
84 |y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
85 )))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
86 |{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
87 |x|0|1|2|3
88 |y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
89 )))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
90 {{/aufgabe}}
91
92 {{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
93 Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.
94 (%class="abc"%)
95 1. (((
96 (%class="border slim"%)
97 |(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}
98
99 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
100 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-4x^e+3=0{{/formula}}
101
102 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
103 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}
104
105 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
106 ⬋
107 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-4u+3=0{{/formula}}
108 (((
109 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
110 |
111
112
113 )))
114
115 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
116 |(%align="center"%)(((⬋
117 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
118 (((
119 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
120 |
121
122
123 )))
124 )))|(%align="center"%)(((🠗
125 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
126 (((
127 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
128 |
129
130
131 )))
132 )))|(%align="center"%)(((⬊
133 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
134 (((
135 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
136 |
137
138
139 )))
140 )))
141 )))
142 1. (((
143 (%class="border slim"%)
144 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-3x^{-1}=0{{/formula}}
145
146 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
147 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-3x^e=0{{/formula}}
148
149 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
150 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-3e^x=0{{/formula}}
151
152 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
153 ⬋
154 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-3u=0{{/formula}}
155 (((
156 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
157 |
158
159
160 )))
161
162 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
163 |(%align="center"%)(((⬋
164 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
165 (((
166 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
167 |
168
169
170 )))
171 )))|(%align="center"%)(((🠗
172 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
173 (((
174 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
175 |
176
177
178 )))
179 )))|(%align="center"%)(((⬊
180 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
181 (((
182 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
183 |
184
185
186 )))
187 )))
188 )))
189 1. (((
190 (%class="border slim"%)
191 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-2x^{-1}+3=0{{/formula}}
192
193 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
194 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-2x^e+3=0{{/formula}}
195
196 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
197 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-2e^x+3=0{{/formula}}
198
199 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
200 ⬋
201 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-2u+3=0{{/formula}}
202 (((
203 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
204 |
205
206
207 )))
208
209 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
210 |(%align="center"%)(((⬋
211 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
212 (((
213 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
214 |
215
216
217 )))
218 )))|(%align="center"%)(((🠗
219 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
220 (((
221 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
222 |
223
224
225 )))
226 )))|(%align="center"%)(((⬊
227 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
228 (((
229 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
230 |
231
232
233 )))
234 )))
235 )))
236 {{/aufgabe}}
237
238 {{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
239 Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
240
241 (% class="border slim " %)
242 |Typ 1 (Umkehroperationen)|Typ 2 (Ausklammern)|Typ 3 (Substitution)
243 |{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
244 |{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2e}+x^e+1 = 0{{/formula}}
245 |{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
246 |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
247 {{/aufgabe}}
248
249 {{aufgabe id=" Exponentialgleichungen rückwärts lösen" afb="II" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
250 (% class="abc" %)
251 1. ((({{{ }}}
252
253 {{formula}}
254 \begin{align*}
255 \square e^x-\square &= 0\\
256 \square e^x &=\square\quad \left|:\square\\
257 e^x &= \square \\
258 x &= 0
259 \end{align*}
260 {{/formula}}
261 )))
262 1. ((({{{ }}}
263
264 {{formula}}
265 \begin{align*}
266 e^{2x}-\square e^x &= 0 \\
267 e^x(\square-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }
268 \end{align*}
269 {{/formula}}
270
271 {{formula}}\ e^x \neq 0 ~und~ e^x-\square = 0{{/formula}}
272
273 {{formula}} x =\square {{/formula}}
274 )))
275 1. ((({{{ }}}
276
277 {{formula}}
278 \begin{align*}
279 x^4+\square x^2+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } x^2:=\square\\
280 z^2+\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
281 \end{align*}
282 {{/formula}}
283
284 {{formula}}
285 \begin{align*}
286 \Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
287 z_1&=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square}
288 \end{align*}
289 {{/formula}}
290
291 {{formula}}
292 \begin{align*}
293 &\text{Resubst.: } \square := x^2\\
294 &x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\
295 &x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2
296 \end{align*}
297 {{/formula}}
298 )))
299 {{/aufgabe}}
300
301 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
302 Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
303 {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
304 {{/aufgabe}}
305
306 {{seitenreflexion/}}