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Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/05/21 15:19
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
5 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
6 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
7 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
9
10 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
11 Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
12 (% class="abc" %)
13
14 1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
15 1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
16 1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
17 1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
18 1. {{formula}} 4\cdot 5^x=100 {{/formula}}
19 {{/aufgabe}}
20
21 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
22 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
23 (% class="abc" %)
24 1. {{formula}} 2x-x^{2}=0 {{/formula}}
25 1. {{formula}} 2e^x-e^{2x}=0 {{/formula}}
26 1. {{formula}} \frac{1}{3}e^x=e^{2x} {{/formula}}
27 1. {{formula}} 3e^{-x}=2e^{2x} {{/formula}}
28 1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
29 {{/aufgabe}}
30
31 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
32 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
33 (% class="abc" %)
34 1. {{formula}} x^{2}-2x-3=0 {{/formula}}
35 1. {{formula}} e^{2x}-2e^x-3=0 {{/formula}}
36 1. {{formula}} e^x-2e^{\frac{1}{2}x}-3=0 {{/formula}}
37 1. {{formula}} e^x-2-\frac{8}{e^x}}=0 {{/formula}}
38 1. {{formula}} 2e^{4x}=e^{2x}+3 {{/formula}}
39 {{/aufgabe}}
40
41 {{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
42 Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
43
44 [[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
45
46 (% class="abc" %)
47 1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
48 1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
49 1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
50 1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
51 1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
52 1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
53 1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
54 1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
55 1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
56 {{/aufgabe}}
57
58 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
59 (% class="abc" %)
60 Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} e^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
61 {{/aufgabe}}
62
63 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
64 Nenne jeweils eine passende Gleichung:
65
66 Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich …
67 (% class="abc" %)
68 1. … die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
69 1. … von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
70 1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
71 {{/aufgabe}}
72
73 {{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
74 Ordne zu:
75 (% class="border slim" %)
76 |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
77 |{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}}|(((
78 |x|0|1|2|3
79 |y|1|2|4|8
80 )))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
81 |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
82 |x|0|1|2|3
83 |y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
84 )))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
85 |{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
86 |x|0|1|2|3
87 |y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
88 )))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]
89 {{/aufgabe}}
90
91 {{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
92 Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.
93 (%class="abc"%)
94 1. (((
95 (%class="border slim"%)
96 |(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}
97
98 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
99 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-4x^e+3=0{{/formula}}
100
101 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
102 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}
103
104 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
105 ⬋
106 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-4u+3=0{{/formula}}
107 (((
108 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
109 |
110
111
112 )))
113
114 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
115 |(%align="center"%)(((⬋
116 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
117 (((
118 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
119 |
120
121
122 )))
123 )))|(%align="center"%)(((🠗
124 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
125 (((
126 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
127 |
128
129
130 )))
131 )))|(%align="center"%)(((⬊
132 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
133 (((
134 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
135 |
136
137
138 )))
139 )))
140 )))
141 1. (((
142 (%class="border slim"%)
143 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-3x^{-1}=0{{/formula}}
144
145 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
146 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-3x^e=0{{/formula}}
147
148 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
149 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-3e^x=0{{/formula}}
150
151 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
152 ⬋
153 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-3u=0{{/formula}}
154 (((
155 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
156 |
157
158
159 )))
160
161 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
162 |(%align="center"%)(((⬋
163 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
164 (((
165 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
166 |
167
168
169 )))
170 )))|(%align="center"%)(((🠗
171 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
172 (((
173 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
174 |
175
176
177 )))
178 )))|(%align="center"%)(((⬊
179 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
180 (((
181 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
182 |
183
184
185 )))
186 )))
187 )))
188 1. (((
189 (%class="border slim"%)
190 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-2x^{-1}+3=0{{/formula}}
191
192 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
193 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-2x^e+3=0{{/formula}}
194
195 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
196 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-2e^x+3=0{{/formula}}
197
198 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
199 ⬋
200 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-2u+3=0{{/formula}}
201 (((
202 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
203 |
204
205
206 )))
207
208 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
209 |(%align="center"%)(((⬋
210 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
211 (((
212 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
213 |
214
215
216 )))
217 )))|(%align="center"%)(((🠗
218 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
219 (((
220 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
221 |
222
223
224 )))
225 )))|(%align="center"%)(((⬊
226 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
227 (((
228 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
229 |
230
231
232 )))
233 )))
234 )))
235 {{/aufgabe}}
236
237 {{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
238 Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
239
240 (% class="border slim " %)
241 |Typ 1 (Umkehroperationen)|Typ 2 (Ausklammern)|Typ 3 (Substitution)
242 |{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
243 |{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2e}+x^e+1 = 0{{/formula}}
244 |{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
245 |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
246 {{/aufgabe}}
247
248 {{aufgabe id=" Exponentialgleichungen rückwärts lösen" afb="II" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
249 (% class="abc" %)
250 1. ((({{{ }}}
251
252 {{formula}}
253 \begin{align*}
254 \square e^x-2 &= 0\\
255 \square e^x &=\square\quad \left|:\square\\
256 e^x &= \square \\
257 x &= 0
258 \end{align*}
259 {{/formula}}
260 )))
261 1. ((({{{ }}}
262
263 {{formula}}
264 \begin{align*}
265 e^{2x}-\square e^x &= 0 \\
266 e^x \cdot (\square-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }
267 \end{align*}
268 {{/formula}}
269
270 {{formula}}
271 e^x \neq 0 ~und~ e^x-\square = 0{{/formula}}
272 {{formula}} e^x=\square {{/formula}}
273 {{formula}} x =\square {{/formula}}
274 )))
275 1. ((({{{ }}}
276
277 {{formula}}
278 \begin{align*}
279 e^{2x}-\square e^x+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } e^x:=\square\\
280 z^2-\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
281 \end{align*}
282 {{/formula}}
283
284 {{formula}}
285 \begin{align*}
286 \Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
287 z_{1,2}&=\frac{\square+\square}{\square}
288 \end{align*}
289 {{/formula}}
290
291 {{formula}}
292 \begin{align*}
293 &\text{Resubst.: } z:= e^x\\
294 &e^x=\square \Rightarrow x \approx 0,693147...\\
295 \end{align*}
296 {{/formula}}
297 )))
298 {{/aufgabe}}
299
300 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
301 Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
302 {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
303 {{/aufgabe}}
304
305 {{seitenreflexion/}}