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Version 118.1 von Martin Stern am 2025/05/21 10:08
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1 {{seiteninhalt/}}
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3 [[Kompetenzen.K1.WebHome]] Ich kann den Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Wachstum erläutern
4 [[Kompetenzen.K3.WebHome]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Wachstumsprozesse mithilfe von Exponentialfunktionen modellieren
5 [[Kompetenzen.K3.WebHome]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Zerfallsprozesse mithilfe von Exponentialfunktionen modellieren
6 [[Kompetenzen.K6.WebHome]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Parameter eines Funktionsterms in der Form {{formula}}f(x) = ae^{kx} + d{{/formula}} oder {{formula}}f(x) = ab^x + d{{/formula}} im Sachzusammenhang deuten
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8 {{lehrende}}
9 Unterschied Lineares und Exponentielles Wachstum
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11 Vermittlung des "Gefühls" für lineares und exponentielles Wachstum: Reihen von Fotos mit linearem bzw. exponentiellem Wachstums- bzw Zerfallsvorgänge
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13 Modellierung von Wachstums-und Zerfallsprozessen (experimentell Schokolinsen, Gummibärchen, Würfel)
14 Klärung der Begriffe Anfangsbestand, Wachstumsfaktor, Halbwertszeit, Verdopplungszeit, ...
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16 Anwendungen aus der Realität (radioaktives Jod, Zerfall von Medikamenten, Geld,....)
17 {{/lehrende}}
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19 == Lineares vs exponentielles Wachstum ==
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21 {{lernende}}
22 [[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/A33wcCSZ]]
23 [[KMap Aufgaben>>https://kmap.eu/app/test/Mathematik/Exponentialfunktionen/Wachstum%20und%20Zerfall]]
24 {{/lernende}}
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26 {{aufgabe id="Wachstum Schokolinsen" afb="I" kompetenzen="K1, K3, K4" quelle="Martina, Stephanie, Thomas" cc="BY-SA" niveau=""}}
27 Eine 250g Packung Schokolinsen soll nach folgendem Schema an eine Klasse verteilt werden:
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29 [[image:Linsen_1_neu.png||width="400"]]
30
31 [[image:linsen_krug.png||style="float: right" width="200"]](%class="abc"%)
32 1. Ermittle, wie viele Linsen Schüler 3 und Schüler 6 bekommen.
33 1. In der Packung befinden sich 270 Linsen.
34 Bestimme, wie groß die Klasse sein darf, so dass jeder Schüler Linsen bekommt.
35 1. Eine Klasse hat 30 Schüler. Gib ein zweites Schema an, so dass jeder Schüler gleich viele Linsen erhält.
36 1. In dem Behälter befinden sich die Schokolinsen für Schüler 10.
37 Gib einen Schätzwert für die Anzahl an Linsen für Schüler 10 an.
38 Ermittle einen Term, wie man die Zahl der Linsen für Schüler 10 berechnen kann.
39 1. Bestimme einen Funktionsterm, mit dem du die Anzahl der Linsen für den Schüler an x. - ter Stelle berechnen kannst.
40 {{/aufgabe}}
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42 {{aufgabe id="Würfelzerfall" afb="I" kompetenzen="K1, K3, K4" quelle="Martina, Stephanie, Thomas" cc="BY-SA" niveau=""}}
43 In einem Würfelbecher befinden sich 30 Würfel. Es werden alle Würfel gleichzeitig geworfen. Wenn ein Würfel das Sternsymbol anzeigt, wird er aussortiert. Untenstehend ist das Ergebnis einer Zerfallsreihe zu sehen.
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45 [[image:wuerfel_tabelle_1.png||style="width:min(100%, 600px)"]]
46 [[image:wuerfel_tabelle_2.png||style="width:min(100%, 600px)"]]
47 [[image:wuerfel_tabelle_3.png||style="width:min(100%, 600px)"]]
48 (%class="abc"%)
49 1. Trage die Anzahl der verbleibenden Würfel nach jedem Wurf in die [[Tabelle>>attach:Würfelwurf.pdf]] ein.
50 1. Die Wahrscheinleichkeit, dass das Sternsymbol angezeigt wird beträgt {{formula}}P(Stern)=\frac{1}{6}{{/formula}}.
51 Gib eine Funktionsgleichung an, welche die Anzahl der verbleibenden Würfel nach jedem Wurf angibt.
52 Beurteile, inwieweit deine Lösung mit den gemessenen Werten übereinstimmt.
53 {{/aufgabe}}
54
55 {{aufgabe id="Wachstum mit Wertetabelle" afb="I" kompetenzen="K1, K3, K4" quelle="Martina, Stephanie, Thomas" cc="BY-SA" niveau=""}}
56 Gegeben ist folgende Wertetabelle für einen Wachstumsvorgang, {{formula}}x{{/formula}} wird in Stunden angegeben, {{formula}}f(x){{/formula}} gibt den Bestand zum jeweiligen Zeitpunkt {{formula}}x{{/formula}} an.
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58 (% class="border" %)
59 |= {{formula}}x{{/formula}} |0|1|2|3|4
60 |= {{formula}}f(x){{/formula}} | | |48||768
61
62 (%class="abc"%)
63 1. Die Wertetabelle kann ein lineares Wachstum beschreiben.
64 Bestimme die fehlenden Werte in der Wertetabelle.
65 Ermittle eine passende Funktionsgleichung.
66 1. Die Wertetabelle kann auch exponentielles Wachstum beschreiben.
67 Bestimme eine Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x)=a\cdot q^x {{/formula}}
68 1. Zeige, dass {{formula}}f(x)=3\cdot e^{1,3863x} {{/formula}} ebenfalls zur Wertetabelle passt.
69 1. Gib an, nach welcher Zeit sich der Anfangsbestand verdoppelt.
70 {{/aufgabe}}
71
72 {{aufgabe id="Abkühlprozesse" afb="I" kompetenzen="" quelle=" Stephanie " cc="BY-SA" niveau=""}}
73 Die Temperatur eines Getränks {{formula}}T(t){{/formula}} nach einer Zeit {{formula}}t{{/formula}} in Minuten kann mit folgender Formel {{formula}}T(t)=T_U+(T_0-T_U)\cdot e^{-kt}{{/formula}} ermittelt werden. Dabei bezeichnet {{formula}}T_U{{/formula}} die Umgebungstemperatur, {{formula}}T_0{{/formula}} die Anfangstemperatur und {{formula}}k{{/formula}} die Abkühlrate.
74 {{formula}}T_U{{/formula}} soll 20°C betragen.
75 Der Abkühlprozess von Tee wird in verschiedenen Gefäßen aus verschiedenen Materialien untersucht. In einer Keramiktasse kann die Temperatur {{formula}}T(t){{/formula}} nach {{formula}}t{{/formula}} Minuten durch die Funktionsgleichung {{formula}}T(t)=20+70\cdot e^{-0,1t}{{/formula}} berechnet werden.
76
77 (%class="abc"%)
78 1. Welche Anfangstemperatur hat der Tee?
79 1. Wird der Tee mit der selben Anfangstemperatur in einen Thermobecher bzw. in ein Gefäß aus Glas geschüttet, verläuft der Abkühlprozess anders. Erläutere, wie der Parameter k in der Funktionsgleichung {{formula}}T(t)=T_U+(T_0-T_U)\cdot e^{-kt}{{/formula}} geändert werden muss, wenn der Tee in einen Thermobecher gefüllt wird.
80 1. Wie lang muss der Tee abkühlen, bis er die Trinktemperatur von 60° erreicht hat?
81 1. Idee: evtl noch Schaubilder zuordnen lassen mit k=0,05 (Thermobecher) und k = 0,15 (Glas)
82 {{/aufgabe}}
83
84 {{aufgabe id="Linear oder exponentiell" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Exponentialfunktionen/Wachstum%20und%20Zerfall]]" cc="BY-SA"}}
85 Ordne zu!
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87 (% style="width: auto" %)
88 |(((
89 Eine Kerze brennt ab
90
91 Die Lichtintensität im Wasser nimmt mit der Tiefe ab
92
93 Auf ein Sparkonto werden jeden Monat 100€ eingezahlt
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95 Aufladen eines Akkus
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97 Kaffee kühlt ab
98
99 Verbreitung eines Gerüchts
100 )))|(((
101 Beschränkte Abnahme
102
103 Exponentielle Abnahme
104
105 Exponentielles Wachstum
106
107 Lineares Wachstum
108
109 Beschränktes Wachstum
110
111 Lineare Abnahme
112 )))
113 {{/aufgabe}}
114
115 {{aufgabe id="Anwendung und Darstellungsformen" afb="I" kompetenzen="K1, K3, K4" quelle="Martina, Stephanie, Thomas" cc="BY-SA" niveau=""}}
116 Gegeben ist die folgende Funktionsgleichung {{formula}}f(x)=4\cdot (\frac{1}{4})^x ;x{{/formula}} in Stunden.
117
118 (%class="abc"%)
119 1. Beschreibe einen Anwendungskontext, welcher mit der Funktionsgleichung modelliert werden kann.
120 1. Beurteile, ob die Funktionsgleichung {{formula}}g(x)=4\cdot (\frac{1}{16})^{\frac{1}{2}\cdot x} ;x{{/formula}} ebenfalls diesen Prozess beschreibt.
121 1. Gib an, wie die Funktionsgleichung verändert werden muss, wenn {{formula}} x{{/formula}} in Minuten gemessen wird.
122 {{/aufgabe}}
123
124 {{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="5" menge=""/}}
125
126 == Exponentielles Wachstum ==
127
128 {{lernende}}
129 [[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/DvsHTqFF]]
130 {{/lernende}}
131
132 {{aufgabe id="CO2-Konzentration" afb="II" kompetenzen="K1,K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2020/abitur/pools2020/mathematik/erhoeht/2020_M_erhoeht_B_Analysis_WTR_1.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
133
134 In einer Messstation wird seit 1958 kontinuierlich die CO,,2,,-Konzentration in der Luft gemessen, die in ppm (parts per million) angegeben wird. Die Tabelle gibt für die Jahre 1960, 1985 und 2010 jeweils den jährlichen Durchschnittswert der Messwerte an.
135
136 (% style="width: min-content; white-space: nowrap" class="border" %)
137 |=Jahr|1960|1985|2010
138 |=CO,,2,,-Konzentration| 317 ppm | 346 ppm | 390 ppm
139
140
141 1. Die jährlichen Durchschnittswerte haben sich im Zeitraum von 1960 bis 1985 in guter Näherung exponentiell entwickelt. Ermittle die zugehörige jährliche Wachstumsrate in Prozent. //(zur Kontrolle: etwa 0,35%)//
142 1. Berechne unter der Annahme, dass sich das exponentielle Wachstum nach 1985 in gleicher Weise fortgesetzt hat, den jährlichen Durchschnittswert für das Jahr 2010. Vergleiche diesen Wert mit dem zugehörigen Wert aus der Tabelle und formuliere das Ergebnis deines Vergleichs im Sachzusammenhang.
143 {{/aufgabe}}
144
145 == Exponentieller Zerfall ==
146
147 {{aufgabe id="Radioaktiver Zerfall" afb="II" kompetenzen="K2, K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2020/abitur/pools2020/mathematik/erhoeht/2020_M_erhoeht_B_Analysis_WTR_2.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
148 Am 26. April 1986 ereignete sich in der Ukraine ein Reaktorunfall, bei dem radioaktives Plutonium-241 freigesetzt wurde. Plutonium-241 zerfällt exponentiell, d. h. in jedem Jahr nimmt die Masse des vorhandenen Plutonium-241 um einen konstanten prozentualen Anteil ab.
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150 Im Folgenden wird der Zerfall einer bestimmten Menge Plutonium-241 betrachtet. Dieser Zerfall wird durch die Funktion {{formula}} p {{/formula}} mit {{formula}} p(x) = 200 \cdot e^{-0,0480x}{{/formula}} und {{formula}} x \in \mathbb{R}_0^{+}{{/formula}} beschrieben. Dabei ist {{formula}} x {{/formula}} die Zeit in Jahren, die seit dem Reaktorunfall vergangen ist, und {{formula}} p(x) {{/formula}} die Masse des verbliebenen Plutonium-241 in Milligramm.
151
152 1. Gib die Bedeutung des Faktors 200 im Sachzusammenhang an und berechne den prozentualen Anteil, um den die Masse des Plutonium-241 in jedem Jahr abnimmt.
153 1. Bestimme das Jahr, in dessen Verlauf erstmals weniger als ein Milligramm des Plutonium-241 vorhanden sein wird.
154 {{/aufgabe}}
155
156 {{seitenreflexion/}}