BPE 4.6 Wachstums- und Zerfallsprozesse

Aufgabe 1  Linear oder exponentiell 𝕃

Ordne zu!

Aufgabe 2  Wachstum Schokolinsen 𝕃

Eine 250g Packung Schokolinsen soll nach folgendem Schema an eine Klasse verteilt werden:

1. Ermittle, wie viele Linsen Schüler 3 und Schüler 6 bekommen.
2. In der Packung befinden sich 270 Linsen.
   Bestimme, wie groß die Klasse sein darf, so dass jeder Schüler Linsen bekommt.
3. Eine Klasse hat 30 Schüler. Gib ein zweites Schema an, so dass jeder Schüler gleich viele Linsen erhält.
4. In dem Behälter befinden sich die Schokolinsen für Schüler 10.
   Gib einen Schätzwert für die Anzahl an Linsen für Schüler 10 an.
   Ermittle einen Term, wie man die Zahl der Linsen für Schüler 10 berechnen kann.
5. Bestimme einen Funktionsterm, mit dem du die Anzahl der Linsen für den Schüler an x. - ter Stelle berechnen kannst.

Aufgabe 3  Würfelzerfall 𝕀 

In einem Würfelbecher befinden sich 30 Würfel. Es werden alle Würfel gleichzeitig geworfen. Wenn ein Würfel das Sternsymbol anzeigt, wird er aussortiert. Untenstehend ist das Ergebnis einer Zerfallsreihe zu sehen.

1. Trage die Anzahl der verbleibenden Würfel nach jedem Wurf in die Tabelle ein.
2. Im Schnitt reduziert sich die Würfelmenge bei jedem Wurf um . Gib eine Funktionsgleichung an, welche die Anzahl der verbleibenden Würfel nach jedem Wurf angibt. Beurteile, inwieweit deine Lösung mit den gemessenen Werten übereinstimmt.

Aufgabe 4  Wachstum mit Wertetabelle 𝕃

Gegeben ist folgende Wertetabelle für einen Wachstumsvorgang,   wird in Stunden angegeben,  gibt den Bestand zum jeweiligen Zeitpunkt  an.

	0	1	2	3	4
			48		768

1. Die Wertetabelle kann ein lineares Wachstum beschreiben. Bestimme die fehlenden Werte in der Wertetabelle. Ermittle einen passenden Funktionsterm.
2. Die Wertetabelle kann auch ein exponentielles Wachstum beschreiben. Bestimme einen Funktionsterm in der Form
3. Zeige, dass  ebenfalls zur Wertetabelle passt.
4. Gib an, nach welcher Zeit sich der Anfangsbestand verdoppelt.

Aufgabe 5  Abkühlprozess 𝕃

Die Temperatur eines Getränks  nach einer Zeit  in Minuten kann mit folgender Formel  ermittelt werden. Dabei bezeichnet  die Umgebungstemperatur,  die Anfangstemperatur und  die Abkühlrate  soll 20 °C betragen.
Der Abkühlprozess von Tee wird in verschiedenen Gefäßen aus verschiedenen Materialien untersucht. In einer Keramiktasse kann die Temperatur  nach  Minuten durch die Funktionsgleichung  berechnet werden.

1. Welche Anfangstemperatur hat der Tee?
2. Wird der Tee mit der selben Anfangstemperatur in einen Thermobecher bzw. in ein Gefäß aus Glas geschüttet, verläuft der Abkühlprozess anders. Erläutere, wie der Parameter k in der Funktionsgleichung  geändert werden muss, wenn der Tee in einen Thermobecher gefüllt wird.
3. Wie lang muss der Tee abkühlen, bis er die Trinktemperatur von 60 °C erreicht hat?

Aufgabe 6  Stunden vs Minuten 𝕃

Ein Zerfallsprozess wird durch die Funktion f mit  in Stunden beschrieben. Bestimme einen Funktionsterm, der denselben Prozess beschreibt, aber bei dem die Zeit in Minuten angegeben ist.

Aufgabe 7  CO2-Konzentration (eAN) 𝕃

In einer Messstation wird seit 1958 kontinuierlich die CO₂-Konzentration in der Luft gemessen, die in ppm (parts per million) angegeben wird. Die Tabelle gibt für die Jahre 1960, 1985 und 2010 jeweils den jährlichen Durchschnittswert der Messwerte an.

1. Die jährlichen Durchschnittswerte haben sich im Zeitraum von 1960 bis 1985 in guter Näherung exponentiell entwickelt. Ermittle die zugehörige jährliche Wachstumsrate in Prozent. (zur Kontrolle: etwa 0,35%)
2. Berechne unter der Annahme, dass sich das exponentielle Wachstum nach 1985 in gleicher Weise fortgesetzt hat, den jährlichen Durchschnittswert für das Jahr 2010. Vergleiche diesen Wert mit dem zugehörigen Wert aus der Tabelle und formuliere das Ergebnis deines Vergleichs im Sachzusammenhang.

#iqb

Aufgabe 8  Radioaktiver Zerfall (eAN) 𝕃

Am 26. April 1986 ereignete sich in der Ukraine ein Reaktorunfall, bei dem radioaktives Plutonium-241 freigesetzt wurde. Plutonium-241 zerfällt exponentiell, d. h. in jedem Jahr nimmt die Masse des vorhandenen Plutonium-241 um einen konstanten prozentualen Anteil ab.

Im Folgenden wird der Zerfall einer bestimmten Menge Plutonium-241 betrachtet. Dieser Zerfall wird durch die Funktion  mit  und  beschrieben. Dabei ist  die Zeit in Jahren, die seit dem Reaktorunfall vergangen ist, und  die Masse des verbliebenen Plutonium-241 in Milligramm.

1. Gib die Bedeutung des Faktors 200 im Sachzusammenhang an und berechne den prozentualen Anteil, um den die Masse des Plutonium-241 in jedem Jahr abnimmt.
2. Bestimme das Jahr, in dessen Verlauf erstmals weniger als ein Milligramm des Plutonium-241 vorhanden sein wird.

#iqb

Aufgabe 9  Verbreitung von Gerüchten

Gerüchte verbreiten sich wie Lauffeuer. Ungefähr 240 Schüler*innen besuchen die Eingangsklasse der Valckenburgschule. Vor der Mathearbeit bringen 2 Schüler*innen das Gerücht in Umlauf, dass in der Arbeit eine Aufgabe zum Thema Verbreitung von Gerüchten dran kommt. Jede*r Schüler*in informiert pro Stunde 2 weitere Schüler*innen.

1. Wie viele Personen kennen das Gerücht nach 1 Stunde, 2 Stunden, …? Stelle eine Wertetabelle für die ersten 5 Stunden auf und bestimme den Verbreitungsfaktor!
2. Die Verbreitung soll zunächst mit einer Exponentialfunktion der Form  modelliert werden. t ist die Zeit in Stunden, f(t) ist die Zahl der Schüler*innen, die das Gerücht zum Zeitpunkt t kennen. Ermittle a und k und gib den Funktionsterm an.
3. Erläutere, warum die Funktion f die Verbreitung des Gerüchts nur für die ersten Stunden gut beschreiben kann.

Bessere Ergebnisse für die Ausbreitung des Gerüchts liefert folgende Funktion:

4. Bestimme k für den Fall, dass das Gerücht nach 10 Stunden 90 % der Schüler*innen erreicht hat!
5. Zeichne das Schaubild mithilfe einer Wertetabelle in einem Intervall, das dir geeignet erscheint.
6. Ermittle graphisch, wann die Hälfte der Schüler*innen informiert ist.

Aufgabe 10  Medikamente 𝕃

Für eine Studie wird nach der Verabreichung eines Medikaments jeweils die Konzentration k des im Blut vorhandenen
Wirkstoffes (in Milligramm pro Liter) in Abhängigkeit von der Zeit t (in Stunden) gemessen.
Das Medikament wird mithilfe einer Spritze direkt in den Blutkreislauf gebracht. Kurz nach Verabreichung der Spritze er-
folgt die erste Messung der Wirkstoffkonzentration im Blut, was den Beginn der Messreihe festlegt (t = 0). 

Für den Probanden A ergeben sich folgende Messwerte:

Zeit in Stunden	0	1,5	3,0	5,0
Konzentration k im	10,20	5,68	3,17	1,45

1. Gegeben sind vier Ansätze für Modellierungsfunktionen: lineare Funktionen, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, exponentielle Funktionen. Begründe zu jeder der Funktionsklassen, ob sie für die Modellierung der Messdaten geeignet ist.

Im folgenden wird angenommen, dass sich eine exponentielle Funktion am besten eignet.

2. Bestimme eine exponentielle Funktion, die zur Modellierung der Messdaten geeignet ist.
3. Unter der Halbwertszeit des Medikamentenabbaus versteht man die Zeitspanne, in der sich die Wirkstoffkonzentration k im Blut halbiert. Berechne diese Halbwertszeit.
4. Zu welchem Zeitpunkt nimmt die Wirkstoffkonzentration k am stärksten ab? Begründe deine Antwort mithilfe der Eigenschaften der Funktion f.
5. Bestimme den Zeitpunkt, bei welchem die Konzentration das erste mal unter 0,5  gefallen ist.