Zum Inhalt springen

Lösung Schwerpunkt eines Dreiecks

Zuletzt geändert von akukin am 2025/07/01 20:28
  1. Mittelpunkt der Strecke \overline{AB}: M_{c}\left(\frac{-4+8}{2}\bigl|\frac{-2+4}{2}\right)=M_{c}\left(2|1\right)
     Mittelpunkt der Strecke \overline{BC}: M_{a}\left(\frac{8+2}{2}\bigl|\frac{4+10}{2}\right)=M_{a}\left(5|7\right)
     Mittelpunkt der Strecke \overline{AC}: M_{b}\left(\frac{-4+2}{2}\bigl|\frac{-2+10}{2}\right)=M_{b}\left(-1|4\right)
    DreieckKoordinatensystem.png

  2. Um die Geradengleichung für g_1 zu bestimmen, berechnen wir mit Hilfe eines Steigungsdreieckes über m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_2}die Steigung 1. Die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (0|2), das heißt der y-Achsenabschnitt ist 2. Somit ergibt sich für die Geradengleichung
    g_1: y=x+2

    Die Gerade g_2 ist eine Parallele zur x-Achse (d.h. Steigung m=0). Die Geradengleichung ist gegeben durch
    g_2: y=4.

    Die Gerade g_3 verläuft parallel zur y-Achse und schneidet die x-Achse an der Stelle x=2. Ihre Gleichung ist somit gegeben durch
    g_3: x=2.
    DreieckmitGeraden (1).png

  3. Gleichsetzen von g_1 und g_2 und Umstellen nach x ergibt

\begin{align} &x+2=4 \quad \mid -2 \\ &x=2 \end{align}

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist somit (2|4) (der y-Wert ist 4, da alle Punkte auf der Geraden g_2 den y-Wert 4 haben).
Da der Punkt auch auf der Geraden g_3 liegt (weil x=2 gilt), schneiden sich die drei Geraden in dem Punkt (2|4).