BPE 7 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2024/07/23 08:45

Aufgabe 1 Grundriss 𝕃

Gegeben sind die Eckpunkte A(2,5|0|0), B(2,5|3|0), C(3,5|3|0),D(3,5|4|0), E(0|4|0), F(0|-3|0),G(5|-3|0), H(5|0|0) des Grundriss einer Wohnung.

Zeichne den Grundriss der Wohnung mit Hilfe der Punkte in ein dreidimensionales Koordinatensystem ein.
Berechne die Größe dieser Wohnung, wenn eine Längeneinheit einem Meter entspricht.

AFB I	Kompetenzen K3 K5	Bearbeitungszeit 12 min
Quelle Martina Wagner, Caroline Leplat, Dirk Tebbe		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 2 Pyramide 𝕃

Gegeben ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die Punkte A(12|0|2), B(12|8|2),C(4|8|2) sind Eckpunkte der Grundfläche. S(8|4|7,5) ist die Spitze der Pyramide.

Zeichne die Pyramide in ein dreidimensionales Koordinatensystem und gib die Koordinaten von Punkt D an.
Bestimme den Mittelpunkt M der Grundfläche der Pyramide.
Zeige, dass es sich um eine quadratische Grundfläche handelt.
Erläutere die geometrische Bedeutung von $\vec{MA}\cdot\vec{MS}=0$ .
Untersuche, welche besondere Lage die Grundfläche der Pyramide im Koordinatensystem hat.

AFB II	Kompetenzen K1 K4 K5	Bearbeitungszeit 20 min
Quelle Martina Wagner, Caroline Leplat, Dirk Tebbe		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 3 Würfel 𝕃

Die Punkte A(0|0|0), B(5|0|0), C(5|5|0) und E(0|0|5) bilden die Eckpunkte eines Würfels.

Bestimme, die fehlenden Koordinaten der Punkte D, F, G und H des Würfels und skizziere diesen in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
Zeige, dass das Volumen des Würfels 125 Volumeneinheiten beträgt.
Das Volumen einer Pyramide berechnet sich durch die Formel $V=\frac{1}{3} \cdot G\cdot h$
Skizziere in ein dreidimensionales Koordinatensystem eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche, die das gleiche Volumen wie der Würfel besitzt. Gib die Eckpunkte deiner Pyramide an.

AFB II	Kompetenzen K1 K2 K4 K5	Bearbeitungszeit 15 min
Quelle Martina Wagner, Caroline Leplat, Dirk Tebbe		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 4 Winkel 𝕃

Der Vektor $\vec{a}$ mit der Länge 2 cm und der Vektor $\vec{b}$ mit der Länge 3 cm schließen einen Winkel $\alpha$ ein. Begründe, dass die Gegenvektoren von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ den gleichen Winkel einschließen.

AFB II	Kompetenzen K1 K4 K5	Bearbeitungszeit 6 min
Quelle Martina Wagner, Caroline Leplat, Dirk Tebbe		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 5 Papierflieger 𝕃

Ein Papierflieger fliegt geradlinig durch die Punkte A(7|4,5|1,5) und B(4|2|2,5) . Eine Blume mit den Koordinaten S(10|7|0,5) (1LE = 1m) liegt auf der Flugbahn des Papierfliegers. Nimm dazu Stellung. Begründe deine Antwort.

AFB II	Kompetenzen K1 K2 K3 K6	Bearbeitungszeit 6 min
Quelle Katharina Schneider, Martin Stern		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 6 Richtungsvektor 𝕃

1. Benenne die in der Figur erkennbaren Vektoren.

Zeige, dass die beiden Gleichungen
$\vec{AB}=-(\vec{a}-\vec{b})$ und
$\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}$ den gleichen Richtungsvektor beschreiben.

AFB II	Kompetenzen K1 K5	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle Martina Wagner, Caroline Leplat, Dirk Tebbe		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 7 Nachweis Quader (gAN)𝕃

Die Vektoren $\vec{a}= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)$ , $\vec{b}= \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$ und $\vec{c_t}= \left(\begin{array}{c} 4t \\ 2t \\ -5t \end{array}\right)$ spannen für jeden Wert von $t \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von .

Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
Bestimme diejenigen Werte von , für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.

#iqb

AFB II	Kompetenzen K1 K2 K5	Bearbeitungszeit 15 min
Quelle IQB		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 8 Berechnungen am Quader (gAN)𝕃

Die Abbildung zeigt einen Quader sowie die Ortsvektoren der Eckpunkte A, B und . Die Grundfläche OABC des Quaders ist quadratisch.

Beschreibe die Lage des Punkts, zu dem der Ortsvektor $\frac{1}{2}\cdot (\vec{b}-\vec{a})$ gehört.

Der Punkt hat den Ortsvektor $\frac{1}{2}\vec{b}+ \vec{d}$ .

Zeichne in die Abbildung ein.
Begründe, dass der Wert des Terms $\vec{b} \cdot \overline{OP}$ nur von der Seitenlänge der Grundfläche abhängt.

#iqb

AFB III	Kompetenzen K1 K2 K4 K5 K6	Bearbeitungszeit 12 min
Quelle IQB		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 9 Rasenfläche (gAN)𝕃

Rasenfläche.JPG
Die Punkte A(0|0|0), B(18|0|1,5), C(12|10|1), D(12|15|1) und E(0|15|0) stellen modellhaft die Eckpunkte einer ebenen Rasenfläche dar (vgl. Abbildung). Die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{DE}$ sind parallel.
Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.

Zeige, dass auch $\overline{AE}$ und $\overline{CD}$ parallel sind und dass $\overline{CD}$ und $\overline{DE}$ einen rechten Winkel einschließen.
Ausgehend vom Ansatz $|\overline{AE}| \cdot |\overline{DE}| + \frac{1}{2}\cdot (|\overline{AB}|- |\overline{DE}|)\cdot\bigl(|\overline{AE}|-|\overline{CD}|\bigl)$ kann eine Größe berechnet werden, die im betrachteten Sachzusammenhang eine Rolle spielt. Nenne diese Größe und erläutere den gegebenen Ansatz.

#iqb

AFB I	Kompetenzen K3 K4 K5	Bearbeitungszeit 10 min
Quelle IQB		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 10 Ähnlichkeit und Strahlensätze (eAN)𝕃

Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt das Quadrat ABCD . Die Gerade , die durch und den Mittelpunkt der Seite $\overline{AD}$ verläuft, hat den Richtungsvektor $\vec{v}$ . Der Punkt ist der Fußpunkt des Lots von auf .

Begründe, dass $|\overline{BF}|=2\cdot |\overline{AF}|$ gilt.
Gib einen Term an, mit dem man die Koordinaten von bestimmen könnte, wenn die Koordinaten von und sowie die Komponenten von $\vec{v}$ bekannt wären.