BPE 7 Einheitsübergreifend
Inhalt
Aufgabe 1 Grundriss 𝕃
Gegeben sind die Eckpunkte des Grundriss einer Wohnung.
- Zeichne den Grundriss der Wohnung mit Hilfe der Punkte in ein dreidimensionales Koordinatensystem ein.
- Berechne die Größe dieser Wohnung, wenn eine Längeneinheit einem Meter entspricht.
AFB I | Kompetenzen K3 K5 | Bearbeitungszeit 12 min |
Quelle Martina Wagner, Caroline Leplat, Dirk Tebbe | Lizenz CC BY-SA |
Aufgabe 2 Pyramide 𝕃
Gegeben ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die Punkte sind Eckpunkte der Grundfläche. ist die Spitze der Pyramide.
- Zeichne die Pyramide in ein dreidimensionales Koordinatensystem und gib die Koordinaten von Punkt D an.
- Bestimme den Mittelpunkt M der Grundfläche der Pyramide.
- Zeige, dass es sich um eine quadratische Grundfläche handelt.
- Erläutere die geometrische Bedeutung von .
- Untersuche, welche besondere Lage die Grundfläche der Pyramide im Koordinatensystem hat.
AFB II | Kompetenzen K1 K4 K5 | Bearbeitungszeit 20 min |
Quelle Martina Wagner, Caroline Leplat, Dirk Tebbe | Lizenz CC BY-SA |
Aufgabe 3 Würfel 𝕃
Die Punkte und bilden die Eckpunkte eines Würfels.
- Bestimme, die fehlenden Koordinaten der Punkte D, F, G und H des Würfels und skizziere diesen in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
- Zeige, dass das Volumen des Würfels 125 Volumeneinheiten beträgt.
- Das Volumen einer Pyramide berechnet sich durch die Formel
Skizziere in ein dreidimensionales Koordinatensystem eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche, die das gleiche Volumen wie der Würfel besitzt. Gib die Eckpunkte deiner Pyramide an.
AFB II | Kompetenzen K1 K2 K4 K5 | Bearbeitungszeit 15 min |
Quelle Martina Wagner, Caroline Leplat, Dirk Tebbe | Lizenz CC BY-SA |
Aufgabe 4 Winkel 𝕃
Der Vektor mit der Länge 2 cm und der Vektor mit der Länge 3 cm schließen einen Winkel ein. Begründe, dass die Gegenvektoren von und den gleichen Winkel einschließen.
AFB II | Kompetenzen K1 K4 K5 | Bearbeitungszeit 6 min |
Quelle Martina Wagner, Caroline Leplat, Dirk Tebbe | Lizenz CC BY-SA |
Aufgabe 5 Papierflieger 𝕃
Ein Papierflieger fliegt geradlinig durch die Punkte und . Eine Blume mit den Koordinaten (1LE = 1m) liegt auf der Flugbahn des Papierfliegers. Nimm dazu Stellung. Begründe deine Antwort.
AFB II | Kompetenzen K1 K2 K3 K6 | Bearbeitungszeit 6 min |
Quelle Katharina Schneider, Martin Stern | Lizenz CC BY-SA |
Aufgabe 6 Richtungsvektor 𝕃
- Benenne die in der Figur erkennbaren Vektoren.
Zeige, dass die beiden Gleichungen
und
den gleichen Richtungsvektor beschreiben.
AFB II | Kompetenzen K1 K5 | Bearbeitungszeit 5 min |
Quelle Martina Wagner, Caroline Leplat, Dirk Tebbe | Lizenz CC BY-SA |
Aufgabe 7 Nachweis Quader (gAN) 𝕃
Die Vektoren , und spannen für jeden Wert von einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von .
- Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
- Bestimme diejenigen Werte von , für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.
AFB II | Kompetenzen K1 K2 K5 | Bearbeitungszeit 15 min |
Quelle IQB e.V. | Lizenz CC BY |
Aufgabe 8 Berechnungen am Quader (gAN) 𝕃
Die Abbildung zeigt einen Quader sowie die Ortsvektoren der Eckpunkte und . Die Grundfläche des Quaders ist quadratisch.
- Beschreibe die Lage des Punkts, zu dem der Ortsvektor gehört.
Der Punkt hat den Ortsvektor .
- Zeichne in die Abbildung ein.
- Begründe, dass der Wert des Terms nur von der Seitenlänge der Grundfläche abhängt.
AFB III | Kompetenzen K1 K2 K4 K5 K6 | Bearbeitungszeit 12 min |
Quelle IQB e.V. | Lizenz CC BY |
Aufgabe 9 Rasenfläche (gAN) 𝕃
Die Punkte und stellen modellhaft die Eckpunkte einer ebenen Rasenfläche dar (vgl. Abbildung). Die Strecken und sind parallel.
Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.
- Zeige, dass auch und parallel sind und dass und einen rechten Winkel einschließen.
- Ausgehend vom Ansatz kann eine Größe berechnet werden, die im betrachteten Sachzusammenhang eine Rolle spielt. Nenne diese Größe und erläutere den gegebenen Ansatz.
AFB I | Kompetenzen K3 K4 K5 | Bearbeitungszeit 10 min |
Quelle IQB e.V. | Lizenz CC BY |
Aufgabe 10 Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt (eAN) 𝕃
Für mit werden die Pyramiden mit und betrachtet (vgl. Abbildung)
- Begründe, dass das Dreieck gleichschenklig ist.
- Der Mittelpunkt der Strecke ist .
Begründe, dass die Länge einer Höhe des Dreiecks ist.
Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks .
AFB III | Kompetenzen K1 K2 K4 K5 K6 | Bearbeitungszeit 10 min |
Quelle IQB e.V. | Lizenz CC BY |
Aufgabe 11 Ähnlichkeit und Strahlensätze (eAN) 𝕃
Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt das Quadrat . Die Gerade , die durch und den Mittelpunkt der Seite verläuft, hat den Richtungsvektor . Der Punkt ist der Fußpunkt des Lots von auf .
- Begründe, dass gilt.
- Gib einen Term an, mit dem man die Koordinaten von bestimmen könnte, wenn die Koordinaten von und sowie die Komponenten von bekannt wären.
AFB III | Kompetenzen K1 K2 K4 | Bearbeitungszeit 7 min |
Quelle IQB e.V. | Lizenz CC BY |
Aufgabe 12 Dreieck Koordinaten (gAN) 𝕃
Gegeben sind die Punkte und . Der Koordinatenursprung wird mit bezeichnet.
- Bestimme denjenigen Wert von , für den und den Abstand 5 haben.
- Ermittle denjenigen Wert von , für den das Dreieck im Punkt rechtwinklig ist.
AFB II | Kompetenzen K2 K5 | Bearbeitungszeit 7 min |
Quelle IQB e.V. | Lizenz CC BY |
Aufgabe 13 Parallelogramm (eAN) 𝕋 𝕃
Die Punkte und sind Eckpunkte eines Parallelogramms , dessen Diagonalen sich im Punkt schneiden.
- Verschiebt man jeden der Punkte und parallel zur -Achse in die -Ebene, so ergeben sich die Punkte bzw. . Das Viereck ist ein Parallelogramm, dessen Diagonalen sich im Punkt schneiden.
Zeichne und in die Abbildung ein.
- Berechne den Wert des Skalarprodukts und beurteile, ob der Winkel zwischen den Vektoren und kleiner als ist.
AFB k.A. | Kompetenzen K1 K2 K4 K5 | Bearbeitungszeit k.A. |
Quelle IQB e.V. | Lizenz CC BY |
K1 | K2 | K3 | K4 | K5 | K6 | |
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I | 0 | 0 | 2 | 1 | 2 | 0 |
II | 6 | 4 | 1 | 3 | 6 | 1 |
III | 3 | 3 | 0 | 3 | 2 | 2 |