Zum Inhalt springen

Wiki-Quellcode von BPE 7.1 Punkte und Vektoren

Version 74.1 von Holger Engels am 2024/07/18 16:01
Zeige letzte Bearbeiter
1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Vektoren als Pfeilklassen deuten
4 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann Vektoren geometrisch als Verschiebung interpretieren
5 [[Kompetenzen.K4]] Ich kann geometrische Objekte im dreidimensionalen Koordinatensystem zeichnen
6 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K1]] Ich kann das Koordinatensystem nutzen, um geometrische Sachverhalte zu beschreiben
7
8 == Punkte im Raum ==
9
10 {{aufgabe id="Punkte einzeichnen" afb="I" kompetenzen="K4, K6" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3" links="[[Interaktiv>>https://kmap.eu/app/exercise/Mathematik/Anschauungsraum/R%C3%A4umliches%20Koordinatensystem/Punkt%20platzieren]]"}}
11 Zeichne die Punkte {{formula}}A(2|4|2){{/formula}} und {{formula}}B(-4|1|-1){{/formula}} in ein gemeinsames Koordinatensystem. Was fällt auf?
12 {{/aufgabe}}
13
14 {{aufgabe id="Punkte ablesen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="4" links="[[Interaktiv>>https://kmap.eu/app/exercise/Mathematik/Anschauungsraum/R%C3%A4umliches%20Koordinatensystem/Koordinaten%20ablesen]]"}}
15 [[image:3D Punkt ablesen.png||style="float: right"]]Gib jeweils an, welche Koordinaten der eingezeichnete Punkt haben könnte, wenn eine Koordinate vorgegeben ist.
16
17 {{formula}}A(\:4\:|\:?\:|\:?\:){{/formula}}
18
19 {{formula}}B(\:?\:|\:2\:|\:?\:){{/formula}}
20
21 {{formula}}C(\:?\:|\:?\:|-4\:){{/formula}}
22 {{/aufgabe}}
23
24 {{aufgabe id="Zeichenebene" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="6"}}
25 [[image:Zeichenebene.png||style="float:right"]]Ich Schaubild siehst du den Punkt {{formula}}P(2|4|2){{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P'(0|3|1){{/formula}} wird an der selben Stelle eingezeichnet. Wie lautet der Verschiebungsvektor {{formula}}\over{PP'}{{/formula}}? Zeichne einen weiteren Punkt {{formula}}Q(2|3|4){{/formula}} ein. Prüfe, ob der zugehörige Punkt {{formula}}Q'{{/formula}} ebenfalls an der gleichen Stelle eingezeichnet wird, wie {{formula}}Q{{/formula}}! Nenne weitere Punkte {{formula}}P''{{/formula}} und {{formula}}Q''{{/formula}}, die ebenfalls jeweils an derselben Stelle eingezeichnet werden, wie {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}Q{{/formula}}.
26 {{/aufgabe}}
27
28 {{aufgabe id="Lage im Koordinatensystem" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="1" links="[[Interaktiv Lage im Koordinatensystem]]"}}
29 a) Gib an, in welcher Koordinatenebene der Punkt {{formula}}A(2|1|0){{/formula}} liegt.
30 b) Nenne einen Punkt, der auf der {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse liegt.
31 {{/aufgabe}}
32
33 {{aufgabe id="Spiegelung von Punkten an Koordinatenebenen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern" cc="BY-SA" zeit="6"}}
34 Gib an, welche Koordinaten die Bildpunkte von A, B und C haben, bei einer Spiegelung von
35
36 a) {{formula}}A(2|4|2){{/formula}} an der {{formula}}x_1x_2-{{/formula}}Ebene
37
38 b) {{formula}}B(-4|1|-1){{/formula}} an der {{formula}}x_1x_3-{{/formula}}Ebene
39
40 c) {{formula}}C(5|-8|0){{/formula}} an der {{formula}}x_2x_3-{{/formula}}Ebene //
41 {{/aufgabe}}
42
43 {{aufgabe id="Museum" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Abi 2020 Vektorgeometrie mit Hilfsmitteln" zeit="7"}}
44 Ein Architekt plant ein modernes Museum.
45
46 Im Modell hat das Museum eine rechteckige Grundfläche mit den Eckpunkten {{formula}}A_1(0|0|0){{/formula}}, {{formula}}B_1(10|0|0){{/formula}}, {{formula}}C_1(10|5|0){{/formula}} und {{formula}}D_1(0|5|0){{/formula}}.
47
48 Das Dach hat die vier Eckpunkte: {{formula}}A_2(0|0|2){{/formula}}, {{formula}}B_2(10|0|2){{/formula}}, {{formula}}C_2(10|6|2){{/formula}} und {{formula}}D_2(0|5{,}5|2{,}5){{/formula}}.
49
50 Die von der Grundfläche zum Dach verlaufenden Kanten des Modells verbinden Punkte gleichen Buchstabens, z. B. Ist {{formula}}A_1{{/formula}} mit {{formula}}A_2{{/formula}} verbunden. 1 cm im Modell entspricht 10 m.
51
52 Zeichne das Modell in ein geeignetes Koordinatensystem.
53 {{/aufgabe}}
54
55 {{aufgabe id="Kiste" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" quelle="kickoff" cc="BY-SA" zeit="8"}}
56 Eine Kiste mit rechteckiger Grundseite hat ein Fassungsvolumen von {{formula}}144cm^3{{/formula}}. Alle Kanten verlaufen parallel zu den Koordinatenachsen.
57 Die Darstellung zeigt die Kiste nicht maßstabsgetreu. Eine Längeneinheit entspricht der Länge 1 cm.
58
59 [[image:vektoraufgabe.png||style="display: block; width: 500px; margin: auto"]]
60
61 a) Bestimme die Koordinaten der Punkte B und D.
62 b) Bestimme die Koordinaten der Punkte E und F.
63 {{/aufgabe}}
64
65 {{aufgabe id="Polya-Stöpsel" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="6"}}
66 [[image:Polya.png||style="float:right; width:400px"]]Der Polya-Stöpsel ist ein dreidimensionales Objekt, dessen Projektionen in die Koordinatenebenen ein Dreieck, ein Quadrat und ein Kreis sind. Gib die Koordinaten der Eckpunkte von Dreieck und Quadrat sowie den Mittelpunkt und den Radius des Kreises an.
67 {{/aufgabe}}
68
69 {{aufgabe id="Eckpunkte einer Pyramide" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/sammlung/abitur/sammlung/mathematik/grundlegend/Beispielaufgaben.pdf]]" niveau="g" zeit="11" tags="iqb"}}
70 In einem kartesischen Koordinatensystem ist die gerade Pyramide ABCDS gegeben. Die Kantenlänge der quadratischen Grundfläche ist 5, die Höhe der Pyramide 7.
71 1. Gib mögliche Koordinaten der Eckpunkte der Pyramide an.
72 1. Mindestens einer der Eckpunkte soll so verschoben werden, dass sich das Volumen der Pyramide vervierfacht. Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten. Gib für zwei dieser Möglichkeiten jeweils die Koordinaten der verschobenen Eckpunkte an und begründe deine Angabe.
73 {{/aufgabe}}
74
75 == Vektoren ==
76
77 {{aufgabe id="Vektorbegriff" afb="I" kompetenzen="K6" quelle="Martin Stern" cc="BY-SA" zeit="3"}}
78 Begründe, was ein Vektor ist. Kreuze alle richtigen Aussagen an.
79
80 A ☐ Ein Vektor ist eine Pfeilmenge.
81 B ☐ Ein Vektor wird geschrieben als: {{formula}}\vec{v}{{/formula}}
82 C ☐ Ein Vektor ist ein Punkt.
83 D ☐ Geometrisch betrachtet sind alle Pfeile eines Vektors gleichlang.
84 E ☐ Geometrisch betrachtet sind alle Pfeile eines Vektors gleichgerichtet.
85 F ☐ Geometrisch betrachtet sind alle Pfeile eines Vektors parallel.
86 G ☐ Der Ortsvektor eines Punktes ist der Verbindungsvektor vom Ursprung zu diesem Punkt.
87 H ☐ Pfeile, die zu einem Vektor gehören, können in unterschiedliche Richtungen zeigen.
88 I ☐ Pfeile, die zu einem Vektor gehören, beginnen immer im Ursprung.
89 (% style="text-align: right" %)
90 ,,**In Anlehnung an:** [[Henrik Horstmann>>https://henriks-mathewerkstatt.de/impr.html]], [[Aufgaben zu Vektoren>>https://henriks-mathewerkstatt.de/2512.VG.Vektoren.Aufgaben_1.A.pdf]],[[CC BY 4.0>>https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.de]],,
91 {{/aufgabe}}
92
93 {{aufgabe id="Koordinatendarstellung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Martin Stern" cc="by-sa" zeit="2"}}
94 [[image:Vektor.png||style="float:right;width:250px"]]Gib die Koordinatendarstellung des Vektors an.
95
96 Zeichne einen weiteren Repräsentanten und den Gegenvektor daneben.
97 {{/aufgabe}}
98
99 {{aufgabe id="Zeichnen 2D" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" cc="by-sa" zeit="3"}}
100 Gegeben sind die Punkte A(-1|-2) und B(3|1). Zeichne den Ortsvektor {{formula}}\overrightarrow{OA}{{/formula}} und den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} in ein geeignetes Koordinatensystem.
101 {{/aufgabe}}
102
103 {{aufgabe id="Vektor und Gegenvektor" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern" cc="BY-SA" zeit="4"}}
104 Gegeben sind die Punkte {{formula}}A(3|5|-8){{/formula}} und {{formula}}B(-5|1|6){{/formula}}. Gib den Vektor {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BA}{{/formula}} an.
105 {{/aufgabe}}
106
107 {{aufgabe id="Verschiebung" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" cc="by-sa" zeit="4"}}
108 Das Dreieck ABC mit A(2|-1|2), B(-2|-3|1), C(-2|1|0) soll durch den Vektor {{formula}}\vec{v}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right){{/formula}} verschoben werden. Zeichne das Dreieck zusammen mit seinem Abbild in ein geeignetes Koordinatensystem.
109 {{/aufgabe}}
110
111 {{aufgabe id="Verschiebung ermitteln" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="by-sa" zeit="5"}}
112 [[image:Verschiebungsvektor.png||style="float:right;width:500px"]]Die Koordinaten der Eckpunkte des linken Dreiecks lauten: {{formula}}A(4|-3|3)\text{, }B(4|1|3)\text{ und }C(2|4|5){{/formula}}
113
114 Vom Punkt A' ist bekannt, dass er in der x,,2,,x,,3,,-Ebene liegt. Bestimme den Verschiebungsvektor und ermittle die Koordinaten von B' und C'
115 {{/aufgabe}}
116
117 {{aufgabe id="Pyramide" afb="II" kompetenzen="K2, K6" quelle="IQB 2020 Lineare Algebra gAN Teil A" lizenz="" zeit="11"}}
118 Betrachtet wird die Pyramide {{formula}}ABCS{{/formula}}. Ihre Grundfläche ist das rechtwinklige Dreieck {{formula}}ABC{{/formula}}; die Hypotenuse {{formula}}\overline{AB}{{/formula}} ist 5 cm lang, die Kathete {{formula}}\overline{AC}{{/formula}} 4 cm. Die Kante {{formula}}\overline{CS}{{/formula}} steht senkrecht zur Grundfläche und hat eine Länge von 7 cm.
119
120 1. Berechne das Volumen der Pyramide.
121 1. Die Pyramide soll in einem Koordinatensystem dargestellt werden, in dem eine Längeneinheit 1 cm entspricht. Gib mögliche Koordinaten der Eckpunkte der Pyramide an!
122 {{/aufgabe}}
123
124 {{aufgabe id="Körpernetz" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" cc="by-sa" zeit="5"}}
125 [[image:Körpernetz.png||style="float:right;width:500px"]]Nenne den geometrischen Körper, der durch Zusammenfalten das Netzes entsteht. Zeichne den Körper in ein 3D-Koordinatensystem, wobei eine Dreiecksfläche in der x,,1,,x,,2,,-Ebene zu liegen kommen soll.
126 {{/aufgabe}}
127
128 {{lehrende}}
129 Aufgaben zu K3 wurden bewusst weggelassen.
130 [[Henriks Mathewerkstatt - Vektorgeometrie>>https://henriks-mathewerkstatt.de/2_94_Das_Modell.html]] von Henrik Horstmann.
131 {{/lehrende}}
132
133 {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="3" anforderungsbereiche="4" kriterien="3" menge="4"/}}