BPE 7.1 Punkte und Vektoren

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2024/02/10 16:15

Inhalt

K4 Ich kann Vektoren als Pfeilklassen deuten
K4 K6 Ich kann Vektoren geometrisch als Verschiebung interpretieren
K4 Ich kann geometrische Objekte im dreidimensionalen Koordinatensystem zeichnen
K4 K1 Ich kann das Koordinatensystem nutzen, um geometrische Sachverhalte zu beschreiben

Punkte im Raum

Zeichne die Punkte A(2|4|2) und B(-4|1|-1) in ein gemeinsames Koordinatensystem. Was fällt auf?

AFB   IKompetenzen   K4 K6Bearbeitungszeit   3 min
Quelle   Holger EngelsLizenz   CC BY-SA
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3D Punkt ablesen.pngGib jeweils an, welche Koordinaten der eingezeichnete Punkt haben könnte, wenn eine Koordinate vorgegeben ist.

A(\:4\:|\:?\:|\:?\:)

B(\:?\:|\:2\:|\:?\:)

C(\:?\:|\:?\:|-4\:)

AFB   IIKompetenzen   K4Bearbeitungszeit   4 min
Quelle   Holger EngelsLizenz   CC BY-SA
Links   Interaktiv

Zeichenebene.pngIm Schaubild siehst du den Punkt P(2|4|2). In der Zeichenebene (x2x3) bzw. wenn man die x1-Achse nicht berücksichtigit, wird er bei (3|1) eingezeichnet. Bestimme eine Formel für diese Projektion in die Zeichenebene! Begründe, wie sich die Koordinaten 3 und 1 aus den Koordinaten des Punktes ergeben.

AFB   IIKompetenzen   K1 K5Bearbeitungszeit   6 min
Quelle   Holger EngelsLizenz   CC BY-SA

a) Gib an, in welcher Koordinatenebene der Punkt A(2|1|0) liegt.
b) Nenne einen Punkt, der auf der x_1-Achse liegt.

AFB   IKompetenzen   K4 K5Bearbeitungszeit   1 min
Quelle   Martina WagnerLizenz   CC BY-SA

Gib an, welche Koordinaten die Bildpunkte von A(2|4|2), B(-4|1|-1) und C(5|-8|0) bei Spiegelung an der a) x_1x_2-Ebene, b) x_1x_3-Ebene und an der c) x_2x_3-Ebene haben. 

AFB   IKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   6 min
Quelle   Martin SternLizenz   CC BY-SA

Ein Architekt plant ein modernes Museum.

Im Modell hat das Museum eine rechteckige Grundfläche mit den Eckpunkten A_1(0|0|0), B_1(10|0|0), C_1(10|5|0) und D_1(0|5|0).

Das Dach hat die vier Eckpunkte: A_2(0|0|2), B_2(10|0|2), C_2(10|6|2) und D_2(0|5{,}5|2{,}5).

Die von der Grundfläche zum Dach verlaufenden Kanten des Modells verbinden Punkte gleichen Buchstabens, z. B. Ist A_1 mit A_2 verbunden. 1 cm im Modell entspricht 10 m.

Zeichne das Modell in ein geeignetes Koordinatensystem.

AFB   IKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   7 min
Quelle   Abi 2020 Vektorgeometrie mit HilfsmittelnLizenz   k.A.

Eine Kiste mit rechteckiger Grundseite hat ein Fassungsvolumen von 144cm^3. Alle Kanten verlaufen parallel zu den Koordinatenachsen.
Die Darstellung zeigt die Kiste nicht maßstabsgetreu. Eine Längeneinheit entspricht der Länge 1 cm.

vektoraufgabe.png

a) Bestimme die Koordinaten der Punkte B und D.
b) Bestimme die Koordinaten der Punkte E und F.

AFB   IIKompetenzen   K2 K4 K5Bearbeitungszeit   8 min
Quelle   kickoffLizenz   CC BY-SA

Polya.pngDer Polya-Stöpsel ist ein dreidimensionales Objekt, dessen Projektionen in die Koordinatenebenen ein Dreieck, ein Quadrat und ein Kreis sind. Gib die Koordinaten der Eckpunkte von Dreieck und Quadrat sowie den Mittelpunkt und den Radius des Kreises an.

AFB   IIKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   6 min
Quelle   Holger EngelsLizenz   CC BY-SA

In einem kartesischen Koordinatensystem ist die gerade Pyramide ABCDS gegeben. Die Kantenlänge der quadratischen Grundfläche ist 5, die Höhe der Pyramide 7.

  1. Gib mögliche Koordinaten der Eckpunkte der Pyramide an.
  2. Mindestens einer der Eckpunkte soll so verschoben werden, dass sich das Volumen der Pyramide vervierfacht. Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten. Gib für zwei dieser Möglichkeiten jeweils die Koordinaten der verschobenen Eckpunkte an und begründe deine Angabe.
AFB   IIIKompetenzen   K1 K2 K5Bearbeitungszeit   11 min
Quelle   IQBLizenz   k.A.

Vektoren

Begründe, was ein Vektor ist. Kreuze alle richtigen Aussagen an.

A ☐ Ein Vektor ist eine Pfeilmenge.
B ☐ Ein Vektor wird geschrieben als: \vec{v}
C ☐ Ein Vektor ist ein Punkt.
D ☐ Geometrisch betrachtet sind alle Pfeile eines Vektors gleichlang.
E ☐ Geometrisch betrachtet sind alle Pfeile eines Vektors gleichgerichtet.
F ☐ Geometrisch betrachtet sind alle Pfeile eines Vektors parallel.
G ☐ Der Ortsvektor eines Punktes ist der Verbindungsvektor vom Ursprung zu diesem Punkt.
H ☐ Pfeile, die zu einem Vektor gehören, können in unterschiedliche Richtungen zeigen.
I ☐ Pfeile, die zu einem Vektor gehören, beginnen immer im Ursprung.

In Anlehnung an: Henrik Horstmann, Aufgaben zu Vektoren,CC BY 4.0

AFB   IKompetenzen   K6Bearbeitungszeit   3 min
Quelle   Martin SternLizenz   CC BY-SA

Vektor.pngGib die Koordinatendarstellung des Vektors an.

Zeichne einen weiteren Repräsentanten und den Gegenvektor daneben.

AFB   IKompetenzen   K4Bearbeitungszeit   2 min
Quelle   Martin SternLizenz   CC BY-SA

Gegeben sind die Punkte A(-1|-2) und B(3|1). Zeichne den Ortsvektor \overrightarrow{OA} und den Verbindungsvektor \overrightarrow{AB} in ein geeignetes Koordinatensystem.

AFB   IKompetenzen   K4Bearbeitungszeit   3 min
Quelle   Holger EngelsLizenz   CC BY-SA

Gegeben sind die Punkte A(3|5|-8) und B(-5|1|6). Gib den Vektor \overrightarrow{AB} und \overrightarrow{BA} an.

AFB   IKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   4 min
Quelle   Martin SternLizenz   CC BY-SA

Das Dreieck ABC mit A(2|-1|2), B(-2|-3|1), C(-2|1|0) soll durch den Vektor \vec{v}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) verschoben werden. Zeichne das Dreieck zusammen mit seinem Abbild in ein geeignetes Koordinatensystem.

AFB   IKompetenzen   K4Bearbeitungszeit   4 min
Quelle   Holger EngelsLizenz   CC BY-SA

Verschiebungsvektor.pngDie Koordinaten der Eckpunkte des linken Dreiecks lauten: A(4|-3|3)\text{, }B(4|1|3)\text{ und }C(2|4|5)

Vom Punkt A' ist bekannt, dass er in der x2x3-Ebene liegt. Bestimme den Verschiebungsvektor und ermittle die Koordinaten von B' und C'

AFB   IIKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   5 min
Quelle   Holger EngelsLizenz   CC BY-SA

Betrachtet wird die Pyramide ABCS. Ihre Grundfläche ist das rechtwinklige Dreieck ABC; die Hypotenuse \overline{AB} ist 5 cm lang, die Kathete \overline{AC} 4 cm. Die Kante \overline{CS} steht senkrecht zur Grundfläche und hat eine Länge von 7 cm.

  1. Berechne das Volumen der Pyramide.
  2. Die Pyramide soll in einem Koordinatensystem dargestellt werden, in dem eine Längeneinheit 1 cm entspricht. Gib mögliche Koordinaten der Eckpunkte der Pyramide an!
AFB   IIKompetenzen   K2 K6Bearbeitungszeit   11 min
Quelle   IQB 2020 Lineare Algebra gAN Teil ALizenz   k.A.

Körpernetz.pngNenne den geometrischen Körper, der durch Zusammenfalten das Netzes entsteht. Zeichne den Körper in ein 3D-Koordinatensystem, wobei eine Dreiecksfläche in der x1x2-Ebene zu liegen kommen soll.

AFB   IIKompetenzen   K4Bearbeitungszeit   5 min
Quelle   Holger EngelsLizenz   CC BY-SA

Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

K1K2K3K4K5K6
I000542
II120341
III110010
Bearbeitungszeit gesamt: 89 min
Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst