BPE 7.2 Addition, Skalare Multiplikation, Betrag, Abstand, Strecke

[[Kompetenzen.K5]] Ich kann elementare Rechenoperationen für Vektoren verwenden

4

[[Kompetenzen.K4]] Ich kann elementare Rechenoperationen für Vektoren geometrisch deuten

5

[[Kompetenzen.K5]] Ich kann den Betrag eines Vektors berechnen

6

[[Kompetenzen.K6]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann den Betrag eines Vektors als seine Länge interpretieren

7

[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Vektoren zur Bestimmung von Teilpunkten einer Strecke verwenden

8

9

{{aufgabe id="Addition und Subtraktion" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Torben Würth" cc="BY-SA" zeit="6" links="[[Interaktiv>>https://kmap.eu/app/exercise/Mathematik/Rechnen%20mit%20Vektoren/Addition%20und%20Subtraktion/Addition]]"}}

10

Gegeben sind die Vektoren {{formula}}\vec{a}= \left(\begin{matrix}1\\3 \end{matrix}\right){{/formula}} und {{formula}}\vec{b}= \left(\begin{matrix}-2\\1 \end{matrix}\right){{/formula}}

11

Zeichne ein zweidimensionales Koordinatensystem und ermittle zeichnerisch:

12

(% class="abc horiz" %)

13

1. {{formula}}\vec{a}+\vec{b}{{/formula}}

14

1. {{formula}}\vec{a}-\vec{b}{{/formula}}

15

16

Prüfe dein zeichnerisches Ergebnis durch Rechnung.

17

18

19

{{aufgabe id="Skalare Multiplikation" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Torben Würth" cc="BY-SA" zeit="6"}}

20

Zeichne ein zweidimensionales Koordinatensystem. Ermittle jeweils zeichnerisch:

21

(% class="abc horiz" %)

22

1. {{formula}}\vec{a}+\vec{a}=2\vec{a}{{/formula}} mit {{formula}}\vec{a}= \left(\begin{matrix}1\\3 \end{matrix}\right){{/formula}}

23

1. {{formula}}\vec{a}+\vec{a}+\vec{a}=3\vec{a}{{/formula}} mit {{formula}}\vec{a}= \left(\begin{matrix}-2\\1 \end{matrix}\right){{/formula}}

24

25

26

{{aufgabe id="Linearkombination" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Torben Würth" cc="BY-SA" zeit="10"}}

27

Berechne jeweils den Vektor {{formula}}\vec c{{/formula}}

28

(%class="abc horiz"%)

29

1. {{formula}}-2\left(\begin{matrix}1\\0,5\\4\end{matrix}\right)-4\left(\begin{matrix}-1\\0,5\\4\end{matrix}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}-2\\-2\\20\end{matrix}\right)=\vec c{{/formula}}

30

1. {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right)-2\left(\begin{matrix}-2\\2\\0\end{matrix}\right)+\vec c=\vec o{{/formula}}

31

32

33

{{aufgabe id="Segelregatta" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K6" quelle="Beckstette, Lautenschlager" cc="BY-SA" zeit="10"}}

34

Im Segel-Wettbewerb müssen nacheinander die einzelnen Bojen {{formula}}B_1{{/formula}} bis {{formula}}B_4{{/formula}} von außen umfahren werden. Das Rennen beginnt im Punkt {{formula}}S(40|0){{/formula}} und endet im Punkt {{formula}}Z(130|0){{/formula}}.

35

36

[[image:segelregatta teil1.png||width="600" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]

37

38

(%class="abc"%)

39

1. (((Das Segelteam //Furious// steuert folgenden Kurs um die Bojen. Dabei dient der „Landungspunkt“ jedes Vektors immer als Startpunkt für den neuen Vektor.

40

41

{{formula}}\overrightarrow{f_1}= 3 \vec{b}+\frac{5}{3} \vec{c}{{/formula}}, {{formula}}\overrightarrow{f_2}= \vec{a}- 2\vec{b}+\frac{7}{2} \vec{c}{{/formula}}, {{formula}}\overrightarrow{f_3}= \vec{a}- \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{d}{{/formula}}, {{formula}}\overrightarrow{f_4}= 2\vec{b}-6,5\vec{c}{{/formula}}

42

43

mit {{formula}}\vec{a}=\left(\begin{matrix} 25 \\ 10 \end{matrix}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{matrix} -10 \\ 10 \end{matrix}\right), \quad \vec{c}=\left(\begin{matrix} 0 \\ 30 \end{matrix}\right), \quad \vec{d}=\left(\begin{matrix} 80 \\ 0 \end{matrix}\right){{/formula}}

44

45

Prüfe, ob der Kurs den Regeln der Regatta entspricht. Begründe deine Entscheidung.

46

)))

47

1. Das Segelteam //Straight// steuert das Schiff perfekt um die Bojen (wie eingezeichnet). Berechne die Länge des Segelkurses bis zur zweiten Boje. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 100 Metern in der Wirklichkeit.

48

1. Ein Photograph will Aufnahmen vom Segelteam //Straight// an der zweiten Boje machen und fährt auf direktem Weg vom Start dorthin. Er startet gleichzeitig mit dem Segelteam. Erreicht er die Position //B,,2,,(40|130)// bevor Team //Straight// das Kreuzchen //x// bei Boje 2 erreicht, wenn sein Boot nur ⅔ der Geschwindigkeit des Segelboots fährt?

49

50

51

{{aufgabe id="In Summe Null" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Daniel Stocker" cc="BY-SA" zeit="5"}}

52

Gegeben sind die Punkte {{formula}}A(3|1|5){{/formula}}, {{formula}}B(5|2|4){{/formula}} und {{formula}}C(8|7|1){{/formula}}.

53

Berechne die Koordinaten von einem Punkt {{formula}}D(d_1|d_2|d_3){{/formula}}, wobei gilt: {{formula}}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{o}{{/formula}}

54

55

56

{{aufgabe id="Teilung einer Strecke" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Daniel Stocker" cc="BY-SA" zeit="5"}}

57

{{formula}}C{{/formula}} teilt die Strecke {{formula}}\overline{AB}{{/formula}} im Verhältnis 2:1.

58

(%class="abc"%)

59

1. Stelle {{formula}}\vec{OC}{{/formula}} als Linearkombination der Verbindungsvektoren der Punkte O, A, B dar.

60

1. Stelle {{formula}}\vec{OC}{{/formula}} als Linearkombination der Ortsvektoren {{formula}}\vec{OA}{{/formula}} und {{formula}}\vec{OB}{{/formula}} dar.

61

62

(es reicht jeweils eine Lösung)

63

64

65

{{aufgabe id="Gleichschenkliges Dreieck" afb="I" kompetenzen="K1, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2021/abitur/pools2021/mathematik/erhoeht/2021_M_erhoeht_B_3.pdf]]" cc="by" tags="iqb" zeit="10"}}

66

Gegeben sind die Punkte {{formula}}A(5|-5|12){{/formula}}, {{formula}}B(5|5|12){{/formula}} und {{formula}}C(-5|5|12){{/formula}}.

67

68

(% class="abc" %)

69

1. Zeige, dass das Dreieck {{formula}}A, B, C{{/formula}} gleichschenklig ist.

70

1. Begründe, dass {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} Eckpunkte eines Quadrats sein können, und gib die Koordinaten des vierten Eckpunktes {{formula}}D{{/formula}} dieses Quadrats an.

71

72

73

{{aufgabe id="Saarpolygon" afb="I" kompetenzen="K1, K3, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2022/abitur/pools2022/mathematik/erhoeht/2022_M_erhoeht_B_5.pdf]]" cc="by" niveau="e" tags="iqb" zeit="10"}}

74

Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken {{formula}}\overline{AB}{{/formula}} , {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} und {{formula}}\overline{CD}{{/formula}} mit {{formula}}A(11|11|0){{/formula}}, {{formula}}B(-11|11|28){{/formula}}, {{formula}}C(11|-11|28){{/formula}} und {{formula}}D(-11|-11|0){{/formula}} besteht (vgl. Abbildung 2). {{formula}}A, B, C{{/formula}} und {{formula}}D{{/formula}} sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

75

76

[[image:Saarpolygon.PNG||width="500" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]

77

(% class="abc" %)

78

1. Begründe, dass die Punkte {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} symmetrisch bezüglich der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse liegen.

79

1. Berechne die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit.

80

81

82

{{aufgabe id="Vektor" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Daniel Stocker" cc="BY-SA" zeit="5"}}

83

Der Vektor {{formula}}\vec{a}= \left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \end{matrix}\right){{/formula}} verläuft parallel zur zweiten Winkelhalbierenden.

84

Zusätzlich soll gelten: {{formula}}\left(\begin{matrix}3 \\ 1 \end{matrix}\right) + \vec{a} = \left(\begin{matrix} 0,5 \\ d \end{matrix}\right){{/formula}}.

85

Bestimme den Wert von d.

86

87

88

{{aufgabe id="Parallelogramm" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="Beckstette, Lautenschlager" cc="BY-SA" zeit="10"}}

89

Gegeben sind die Punkte {{formula}}A(1|2|3){{/formula}}, {{formula}}B(4|6|4){{/formula}}, {{formula}}C(2|9|6){{/formula}} und {{formula}}D(-1|5|5){{/formula}}.

90

(% class="abc" %)

91

1. Zeige, dass das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm ist.

92

1. Der Punkt {{formula}}P{{/formula}} liegt auf der Strecke {{formula}}\overline{BD}{{/formula}}. Berechne die Koordinaten des Punktes {{formula}}P{{/formula}} so, dass er die Strecke {{formula}}\overline{BD}{{/formula}} im Verhältnis {{formula}}1:4{{/formula}} teilt.

93

94

95

{{aufgabe id="Zylinder" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2020/abitur/pools2020/mathematik/erhoeht/2020_M_erhoeht_A_AGLA%28A2%29_1_1.pdf]]" cc="by" niveau="e" tags="iqb" zeit="10"}}

96

In einem Koordinatensystem ist ein gerader Zylinder mit dem Radius 5 und der Höhe 10 gegeben, dessen Grundfläche in der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene liegt. {{formula}} M(8|5|10){{/formula}} ist der Mittelpunkt der Deckfläche.

97

(% class="abc" %)

98

1. Weise nach, dass der Punkt {{formula}}P(5|1|0) {{/formula}} auf dem Rand der Grundfläche des Zylinders liegt.

99

1. Unter allen Punkten auf dem Rand der Deckfläche hat der Punkt {{formula}} S {{/formula}} den kleinsten Abstand von {{formula}} P {{/formula}}, der Punkt {{formula}} T {{/formula}} den größten. Gib die Koordinaten von {{formula}} S {{/formula}} an und bestimme die Koordinaten von {{formula}} T {{/formula}}.

100

101

102

{{aufgabe id="Vektoren Sechseck" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/sammlung/abitur/sammlung/mathematik/grundlegend/Beispielaufgaben_1.pdf]]" cc="by" niveau="g" tags="iqb" zeit="8"}}

103

Im abgebildeten Sechseck {{formula}}ABCDEF{{/formula}} sind jeweils zwei Seiten parallel zueinander.

104

[[image:Sechseckvektoren.png||width="250" style="float:right"]]

105

106

Der Punkt {{formula}}A{{/formula}} hat in einem kartesischen Koordinatensystem die Koordinaten {{formula}}x_1 = 6, x_2 = 2 {{/formula}} und {{formula}}x_3=-4{{/formula}} Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}}\overline{AB} {{/formula}} wird mit {{formula}}M {{/formula}} bezeichnet. Der Punkt {{formula}}K(2|0|8){{/formula}} ist der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{AM} {{/formula}}. Ermittle die Koordinaten von {{formula}}B{{/formula}}.

107

108

109

{{aufgabe id="Nachweis Dreieck" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/sammlung/abitur/sammlung/mathematik/grundlegend/Beispielaufgaben_23.pdf]]" cc="by" niveau="g" tags="iqb" zeit="10"}}

110

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte {{formula}}A(1|2|5){{/formula}}, {{formula}}B(2|7|8){{/formula}} und {{formula}}C(-3|2|4){{/formula}} gegeben.

111

(%class="abc"%)

112

1. Weise nach, dass {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} Eckpunkte eines Dreiecks sind.

113

1. Für jede reelle Zahl {{formula}}a{{/formula}} ist ein Punkt {{formula}} D_a(a|2+a\sqrt{2}|5+\sqrt{2}) {{/formula}} gegeben. Bestimme alle Werte von {{formula}}a{{/formula}}, für die die Strecke von {{formula}} A{{/formula}} nach {{formula}}D_a{{/formula}} die Länge 2 hat.

114

115

116

{{aufgabe id="Flächeninhalte Verhältnis" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="8" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege_9.pdf]]" niveau="g" tags="iqb" cc="by"}}

117

Gegeben ist das Dreieck {{formula}}ABC{{/formula}} mit den Eckpunkten {{formula}}A,B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}}. Für den Punkt {{formula}}D{{/formula}} gilt

118

{{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}{{/formula}}

119

wobei {{formula}}O{{/formula}} den Koordinatenursprung bezeichnet.

120

121

Ermittle das Verhältnis des Inhalts der Fläche des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} zum Inhalt der Fläche des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}}.

122

Stelle dein Vorgehen durch eine geeignete Ergänzung der Abbildung dar.

123

[[image:DreieckABC.PNG||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]

124

125

126

{{aufgabe id="Schwerpunkt im Dreieck" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="Beckstette, Fujan, Lautenschlager" zeit="10" niveau="p"}}

127

[[image:Schwerpunkt.png||width="350" style="float: right"]]

128

Gegeben ist das Dreieck {{formula}}ABC{{/formula}} mit den Eckpunkten {{formula}}A(0|0|0){{/formula}}, {{formula}}B(2|3|4){{/formula}} und {{formula}}C(-1|5|-2){{/formula}}.

129

Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich im Schwerpunkt {{formula}}S{{/formula}}.

130

(%class="abc"%)

131

1. Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes {{formula}}S{{/formula}}.

132

1. Weise mit Hilfe von Vektoren nach, dass der Schwerpunkt {{formula}}S{{/formula}} die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt.

133

134

135

{{aufgabe id="Mittelpunkt einer Strecke" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1,K5" zeit="7" tags="mathebrücke"}}

136

Klara und Alfons haben zwei verschiedene Formeln für die Berechnung des Mittelpunkts zweier Punkte {{formula}}A(x_1|y_1){{/formula}} und {{formula}}B(x_2|y_2){{/formula}}.

137

138

Alfons glaubt, dass folgende Formel richtig ist: {{formula}}M\left(\frac{x_1-y_1}{2}\Bigl|\frac{x_2-y_2}{2}\right){{/formula}}

139

140

Klara behauptet aber, dass ihre Formel die richtige ist: {{formula}}M\left(\frac{x_1+x_2}{2}\Bigl|\frac{x_2+y_2}{2}\right){{/formula}}

141

142

(%class="abc"%)

143

1. Zeichne die Punkte {{formula}}A(3|5){{/formula}} und {{formula}}B(7|1){{/formula}} in ein Koordinatensystem und bestimme zeichnerisch den Mittelpunkt der Strecke {{formula}}AB{{/formula}}.

144

1. Gib an, welche Koordinaten des Mittelpunkts Klara berechnet und welche Alfons? Begründe, wessen Formel richtig ist und streiche die falsche Formel durch!

145

1. Bestimme nun rechnerisch mit der richtigen Formel den Mittelpunkt der Strecke {{formula}}PQ{{/formula}} mit {{formula}}P(-4|2){{/formula}} und {{formula}}Q(3|-6){{/formula}}.

* Umgang mit Formeln

* Selbstkontrolle durch Vergleich Rechnung - Zeichnung

{{aufgabe id="Länge einer Strecke" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K5" zeit="7" tags="mathebrücke"}}

154

Klara und Alfons haben zwei verschiedene Formeln für die Berechnung des Abstands zweier Punkte {{formula}}A(x_1|y_1){{/formula}} und {{formula}}B(x_2|y_2){{/formula}}.

155

156

Alfons glaubt, dass folgende Formel richtig ist: {{formula}}d=\sqrt{(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2}{{/formula}}

157

158

Klara behauptet aber, dass ihre Formel die richtige ist: {{formula}}d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}{{/formula}}

159

160

(%class="abc"%)

161

1. Zeichne die Punkte {{formula}}A(3|5){{/formula}} und {{formula}}B(7|1){{/formula}} in ein Koordinatensystem und bestimme zeichnerisch die Länge der Strecke {{formula}}AB{{/formula}}.

162

1. Gib an, welche Länge des Mittelpunkts Klara berechnet und welche Alfons? Begründe, wessen Formel richtig ist und streiche die falsche Formel durch!

163

1. Bestimme nun rechnerisch mit der richtigen Formel die Länge der Strecke {{formula}}PQ{{/formula}} mit {{formula}}P(-4|2){{/formula}} und {{formula}}Q(3|-6){{/formula}}.

* Umgang mit Formeln

* Selbstkontrolle durch Vergleich Rechnung - Zeichnung

{{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="4" kriterien="3" menge="4"/}}

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		1	{{seiteninhalt/}}
		2
		3	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann elementare Rechenoperationen für Vektoren verwenden
		4	[[Kompetenzen.K4]] Ich kann elementare Rechenoperationen für Vektoren geometrisch deuten
		5	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann den Betrag eines Vektors berechnen
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		7	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Vektoren zur Bestimmung von Teilpunkten einer Strecke verwenden
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		9	{{aufgabe id="Addition und Subtraktion" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Torben Würth" cc="BY-SA" zeit="6" links="[[Interaktiv>>https://kmap.eu/app/exercise/Mathematik/Rechnen%20mit%20Vektoren/Addition%20und%20Subtraktion/Addition]]"}}
		10	Gegeben sind die Vektoren {{formula}}\vec{a}= \left(\begin{matrix}1\\3 \end{matrix}\right){{/formula}} und {{formula}}\vec{b}= \left(\begin{matrix}-2\\1 \end{matrix}\right){{/formula}}
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		12	(% class="abc horiz" %)
		13	1. {{formula}}\vec{a}+\vec{b}{{/formula}}
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		20	Zeichne ein zweidimensionales Koordinatensystem. Ermittle jeweils zeichnerisch:
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		33	{{aufgabe id="Segelregatta" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K6" quelle="Beckstette, Lautenschlager" cc="BY-SA" zeit="10"}}
		34	Im Segel-Wettbewerb müssen nacheinander die einzelnen Bojen {{formula}}B_1{{/formula}} bis {{formula}}B_4{{/formula}} von außen umfahren werden. Das Rennen beginnt im Punkt {{formula}}S(40\|0){{/formula}} und endet im Punkt {{formula}}Z(130\|0){{/formula}}.
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		36	[[image:segelregatta teil1.png\|\|width="600" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
		37
		38	(%class="abc"%)
		39	1. (((Das Segelteam //Furious// steuert folgenden Kurs um die Bojen. Dabei dient der „Landungspunkt“ jedes Vektors immer als Startpunkt für den neuen Vektor.
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		41	{{formula}}\overrightarrow{f_1}= 3 \vec{b}+\frac{5}{3} \vec{c}{{/formula}}, {{formula}}\overrightarrow{f_2}= \vec{a}- 2\vec{b}+\frac{7}{2} \vec{c}{{/formula}}, {{formula}}\overrightarrow{f_3}= \vec{a}- \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{d}{{/formula}}, {{formula}}\overrightarrow{f_4}= 2\vec{b}-6,5\vec{c}{{/formula}}
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		43	mit {{formula}}\vec{a}=\left(\begin{matrix} 25 \\ 10 \end{matrix}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{matrix} -10 \\ 10 \end{matrix}\right), \quad \vec{c}=\left(\begin{matrix} 0 \\ 30 \end{matrix}\right), \quad \vec{d}=\left(\begin{matrix} 80 \\ 0 \end{matrix}\right){{/formula}}
		44
		45	Prüfe, ob der Kurs den Regeln der Regatta entspricht. Begründe deine Entscheidung.
		46	)))
		47	1. Das Segelteam //Straight// steuert das Schiff perfekt um die Bojen (wie eingezeichnet). Berechne die Länge des Segelkurses bis zur zweiten Boje. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 100 Metern in der Wirklichkeit.
		48	1. Ein Photograph will Aufnahmen vom Segelteam //Straight// an der zweiten Boje machen und fährt auf direktem Weg vom Start dorthin. Er startet gleichzeitig mit dem Segelteam. Erreicht er die Position //B,,2,,(40\|130)// bevor Team //Straight// das Kreuzchen //x// bei Boje 2 erreicht, wenn sein Boot nur ⅔ der Geschwindigkeit des Segelboots fährt?
		49	{{/aufgabe}}
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		51	{{aufgabe id="In Summe Null" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Daniel Stocker" cc="BY-SA" zeit="5"}}
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		53	Berechne die Koordinaten von einem Punkt {{formula}}D(d_1\|d_2\|d_3){{/formula}}, wobei gilt: {{formula}}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{o}{{/formula}}
		54	{{/aufgabe}}
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		57	{{formula}}C{{/formula}} teilt die Strecke {{formula}}\overline{AB}{{/formula}} im Verhältnis 2:1.
		58	(%class="abc"%)
		59	1. Stelle {{formula}}\vec{OC}{{/formula}} als Linearkombination der Verbindungsvektoren der Punkte O, A, B dar.
		60	1. Stelle {{formula}}\vec{OC}{{/formula}} als Linearkombination der Ortsvektoren {{formula}}\vec{OA}{{/formula}} und {{formula}}\vec{OB}{{/formula}} dar.
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		62	(es reicht jeweils eine Lösung)
		63	{{/aufgabe}}
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		66	Gegeben sind die Punkte {{formula}}A(5\|-5\|12){{/formula}}, {{formula}}B(5\|5\|12){{/formula}} und {{formula}}C(-5\|5\|12){{/formula}}.
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		68	(% class="abc" %)
		69	1. Zeige, dass das Dreieck {{formula}}A, B, C{{/formula}} gleichschenklig ist.
		70	1. Begründe, dass {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} Eckpunkte eines Quadrats sein können, und gib die Koordinaten des vierten Eckpunktes {{formula}}D{{/formula}} dieses Quadrats an.
		71	{{/aufgabe}}
		72
		73	{{aufgabe id="Saarpolygon" afb="I" kompetenzen="K1, K3, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2022/abitur/pools2022/mathematik/erhoeht/2022_M_erhoeht_B_5.pdf]]" cc="by" niveau="e" tags="iqb" zeit="10"}}
		74	Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken {{formula}}\overline{AB}{{/formula}} , {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} und {{formula}}\overline{CD}{{/formula}} mit {{formula}}A(11\|11\|0){{/formula}}, {{formula}}B(-11\|11\|28){{/formula}}, {{formula}}C(11\|-11\|28){{/formula}} und {{formula}}D(-11\|-11\|0){{/formula}} besteht (vgl. Abbildung 2). {{formula}}A, B, C{{/formula}} und {{formula}}D{{/formula}} sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.
		75
		76	[[image:Saarpolygon.PNG\|\|width="500" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
		77	(% class="abc" %)
		78	1. Begründe, dass die Punkte {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} symmetrisch bezüglich der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse liegen.
		79	1. Berechne die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit.
		80	{{/aufgabe}}
		81
		82	{{aufgabe id="Vektor" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Daniel Stocker" cc="BY-SA" zeit="5"}}
		83	Der Vektor {{formula}}\vec{a}= \left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \end{matrix}\right){{/formula}} verläuft parallel zur zweiten Winkelhalbierenden.
		84	Zusätzlich soll gelten: {{formula}}\left(\begin{matrix}3 \\ 1 \end{matrix}\right) + \vec{a} = \left(\begin{matrix} 0,5 \\ d \end{matrix}\right){{/formula}}.
		85	Bestimme den Wert von d.
		86	{{/aufgabe}}
		87
		88	{{aufgabe id="Parallelogramm" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="Beckstette, Lautenschlager" cc="BY-SA" zeit="10"}}
		89	Gegeben sind die Punkte {{formula}}A(1\|2\|3){{/formula}}, {{formula}}B(4\|6\|4){{/formula}}, {{formula}}C(2\|9\|6){{/formula}} und {{formula}}D(-1\|5\|5){{/formula}}.
		90	(% class="abc" %)
		91	1. Zeige, dass das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm ist.
		92	1. Der Punkt {{formula}}P{{/formula}} liegt auf der Strecke {{formula}}\overline{BD}{{/formula}}. Berechne die Koordinaten des Punktes {{formula}}P{{/formula}} so, dass er die Strecke {{formula}}\overline{BD}{{/formula}} im Verhältnis {{formula}}1:4{{/formula}} teilt.
		93	{{/aufgabe}}
		94
		95	{{aufgabe id="Zylinder" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2020/abitur/pools2020/mathematik/erhoeht/2020_M_erhoeht_A_AGLA%28A2%29_1_1.pdf]]" cc="by" niveau="e" tags="iqb" zeit="10"}}
		96	In einem Koordinatensystem ist ein gerader Zylinder mit dem Radius 5 und der Höhe 10 gegeben, dessen Grundfläche in der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene liegt. {{formula}} M(8\|5\|10){{/formula}} ist der Mittelpunkt der Deckfläche.
		97	(% class="abc" %)
		98	1. Weise nach, dass der Punkt {{formula}}P(5\|1\|0) {{/formula}} auf dem Rand der Grundfläche des Zylinders liegt.
		99	1. Unter allen Punkten auf dem Rand der Deckfläche hat der Punkt {{formula}} S {{/formula}} den kleinsten Abstand von {{formula}} P {{/formula}}, der Punkt {{formula}} T {{/formula}} den größten. Gib die Koordinaten von {{formula}} S {{/formula}} an und bestimme die Koordinaten von {{formula}} T {{/formula}}.
		100	{{/aufgabe}}
		101
		102	{{aufgabe id="Vektoren Sechseck" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/sammlung/abitur/sammlung/mathematik/grundlegend/Beispielaufgaben_1.pdf]]" cc="by" niveau="g" tags="iqb" zeit="8"}}
		103	Im abgebildeten Sechseck {{formula}}ABCDEF{{/formula}} sind jeweils zwei Seiten parallel zueinander.
		104	[[image:Sechseckvektoren.png\|\|width="250" style="float:right"]]
		105
		106	Der Punkt {{formula}}A{{/formula}} hat in einem kartesischen Koordinatensystem die Koordinaten {{formula}}x_1 = 6, x_2 = 2 {{/formula}} und {{formula}}x_3=-4{{/formula}} Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}}\overline{AB} {{/formula}} wird mit {{formula}}M {{/formula}} bezeichnet. Der Punkt {{formula}}K(2\|0\|8){{/formula}} ist der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{AM} {{/formula}}. Ermittle die Koordinaten von {{formula}}B{{/formula}}.
		107	{{/aufgabe}}
		108
		109	{{aufgabe id="Nachweis Dreieck" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/sammlung/abitur/sammlung/mathematik/grundlegend/Beispielaufgaben_23.pdf]]" cc="by" niveau="g" tags="iqb" zeit="10"}}
		110	In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte {{formula}}A(1\|2\|5){{/formula}}, {{formula}}B(2\|7\|8){{/formula}} und {{formula}}C(-3\|2\|4){{/formula}} gegeben.
		111	(%class="abc"%)
		112	1. Weise nach, dass {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} Eckpunkte eines Dreiecks sind.
		113	1. Für jede reelle Zahl {{formula}}a{{/formula}} ist ein Punkt {{formula}} D_a(a\|2+a\sqrt{2}\|5+\sqrt{2}) {{/formula}} gegeben. Bestimme alle Werte von {{formula}}a{{/formula}}, für die die Strecke von {{formula}} A{{/formula}} nach {{formula}}D_a{{/formula}} die Länge 2 hat.
		114	{{/aufgabe}}
		115
		116	{{aufgabe id="Flächeninhalte Verhältnis" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="8" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege_9.pdf]]" niveau="g" tags="iqb" cc="by"}}
		117	Gegeben ist das Dreieck {{formula}}ABC{{/formula}} mit den Eckpunkten {{formula}}A,B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}}. Für den Punkt {{formula}}D{{/formula}} gilt
		118	{{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}{{/formula}}
		119	wobei {{formula}}O{{/formula}} den Koordinatenursprung bezeichnet.
		120
		121	Ermittle das Verhältnis des Inhalts der Fläche des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} zum Inhalt der Fläche des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}}.
		122	Stelle dein Vorgehen durch eine geeignete Ergänzung der Abbildung dar.
		123	[[image:DreieckABC.PNG\|\|width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
		124	{{/aufgabe}}
		125
		126	{{aufgabe id="Schwerpunkt im Dreieck" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="Beckstette, Fujan, Lautenschlager" zeit="10" niveau="p"}}
		127	[[image:Schwerpunkt.png\|\|width="350" style="float: right"]]
		128	Gegeben ist das Dreieck {{formula}}ABC{{/formula}} mit den Eckpunkten {{formula}}A(0\|0\|0){{/formula}}, {{formula}}B(2\|3\|4){{/formula}} und {{formula}}C(-1\|5\|-2){{/formula}}.
		129	Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich im Schwerpunkt {{formula}}S{{/formula}}.
		130	(%class="abc"%)
		131	1. Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes {{formula}}S{{/formula}}.
		132	1. Weise mit Hilfe von Vektoren nach, dass der Schwerpunkt {{formula}}S{{/formula}} die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt.
		133	{{/aufgabe}}
		134
		135	{{aufgabe id="Mittelpunkt einer Strecke" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1,K5" zeit="7" tags="mathebrücke"}}
		136	Klara und Alfons haben zwei verschiedene Formeln für die Berechnung des Mittelpunkts zweier Punkte {{formula}}A(x_1\|y_1){{/formula}} und {{formula}}B(x_2\|y_2){{/formula}}.
		137
		138	Alfons glaubt, dass folgende Formel richtig ist: {{formula}}M\left(\frac{x_1-y_1}{2}\Bigl\|\frac{x_2-y_2}{2}\right){{/formula}}
		139
		140	Klara behauptet aber, dass ihre Formel die richtige ist: {{formula}}M\left(\frac{x_1+x_2}{2}\Bigl\|\frac{x_2+y_2}{2}\right){{/formula}}
		141
		142	(%class="abc"%)
		143	1. Zeichne die Punkte {{formula}}A(3\|5){{/formula}} und {{formula}}B(7\|1){{/formula}} in ein Koordinatensystem und bestimme zeichnerisch den Mittelpunkt der Strecke {{formula}}AB{{/formula}}.
		144	1. Gib an, welche Koordinaten des Mittelpunkts Klara berechnet und welche Alfons? Begründe, wessen Formel richtig ist und streiche die falsche Formel durch!
		145	1. Bestimme nun rechnerisch mit der richtigen Formel den Mittelpunkt der Strecke {{formula}}PQ{{/formula}} mit {{formula}}P(-4\|2){{/formula}} und {{formula}}Q(3\|-6){{/formula}}.
		146
		147	{{comment}}
		148	* Umgang mit Formeln
		149	* Selbstkontrolle durch Vergleich Rechnung - Zeichnung
		150	{{/comment}}
		151	{{/aufgabe}}
		152
		153	{{aufgabe id="Länge einer Strecke" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K5" zeit="7" tags="mathebrücke"}}
		154	Klara und Alfons haben zwei verschiedene Formeln für die Berechnung des Abstands zweier Punkte {{formula}}A(x_1\|y_1){{/formula}} und {{formula}}B(x_2\|y_2){{/formula}}.
		155
		156	Alfons glaubt, dass folgende Formel richtig ist: {{formula}}d=\sqrt{(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2}{{/formula}}
		157
		158	Klara behauptet aber, dass ihre Formel die richtige ist: {{formula}}d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}{{/formula}}
		159
		160	(%class="abc"%)
		161	1. Zeichne die Punkte {{formula}}A(3\|5){{/formula}} und {{formula}}B(7\|1){{/formula}} in ein Koordinatensystem und bestimme zeichnerisch die Länge der Strecke {{formula}}AB{{/formula}}.
		162	1. Gib an, welche Länge des Mittelpunkts Klara berechnet und welche Alfons? Begründe, wessen Formel richtig ist und streiche die falsche Formel durch!
		163	1. Bestimme nun rechnerisch mit der richtigen Formel die Länge der Strecke {{formula}}PQ{{/formula}} mit {{formula}}P(-4\|2){{/formula}} und {{formula}}Q(3\|-6){{/formula}}.
		164
		165	{{comment}}
		166	* Umgang mit Formeln
		167	* Selbstkontrolle durch Vergleich Rechnung - Zeichnung
		168	{{/comment}}
		169	{{/aufgabe}}
		170
		171	{{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="4" kriterien="3" menge="4"/}}

Wiki-Quellcode von BPE 7.2 Addition, Skalare Multiplikation, Betrag, Abstand, Strecke