BPE 7.2 Addition, Skalare Multiplikation, Betrag, Abstand, Strecke

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2024/02/10 16:07

Inhalt

K5 Ich kann elementare Rechenoperationen für Vektoren verwenden
K4 Ich kann elementare Rechenoperationen für Vektoren geometrisch deuten
K5 Ich kann den Betrag eines Vektors berechnen
K6 K5 Ich kann den Betrag eines Vektors als seine Länge interpretieren
K5 Ich kann Vektoren zur Bestimmung von Teilpunkten einer Strecke verwenden

Vektoren

Zeichne ein zweidimensionales Koordinatensystem und ermittle zeichnerisch \vec{a}+\vec{b}
a)
\vec{a}= \left(\begin{array}{c}1\\3 \end{array}\right) ; \vec{b}= \left(\begin{array}{c}2\\4 \end{array}\right)
b)
\vec{a}= \left(\begin{array}{c}-1\\2 \end{array}\right) ; \vec{b}= \left(\begin{array}{c}3\\-4 \end{array}\right)

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Zeichne ein zweidimensionales Koordinatensystem und ermittle zeichnerisch \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}
a)  
\vec{a}= \left(\begin{array}{c}2\\3 \end{array}\right) ; \vec{b}= \left(\begin{array}{c}4\\1 \end{array}\right) ; \vec{c}= \left(\begin{array}{c}-1\\2 \end{array}\right)
b)
\vec{a}= \left(\begin{array}{c}-2\\2 \end{array}\right) ; \vec{b}= \left(\begin{array}{c}3\\-4 \end{array}\right) ; \vec{c}= \left(\begin{array}{c}3\\3\end{array}\right)

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Berechne
a)  
\left(\begin{array}{c}12\\7 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\4 \end{array}\right)=
b)
\left(\begin{array}{c}-16\\33 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0,5\\-33 \end{array}\right)=
c)
\left(\begin{array}{c}-1,5\\\frac{1}{3} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\\pi\end{array}\right)=
d)  
\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\sqrt{2}\\5\pi \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\\pi\end{array}\right)=
e)  
\left(\begin{array}{c}\frac{3}{7}\\5 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\frac{5}{7}\\5 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\frac{1}{7}\\5 \end{array}\right)=
 
f)
\left(\begin{array}{c}1\\7\\9 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\4\\-1 \end{array}\right)=
g)
\left(\begin{array}{c}100\\71\\92 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}203\\4\\-119\end{array}\right)=
h)
\left(\begin{array}{c}12,6\\8,1\\0,3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-0,6\\0,9\\\frac{1}{3}\end{array}\right)=
i)
\left(\begin{array}{c}1\\0,5\\4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-1\\0,5\\4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-1\\-2\\20\end{array}\right)=

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Quelle   Torben WürthLizenz   CC BY-SA

a) Zeichne ein zweidimensionales Koordinatensystem und ermittle zeichnerisch \vec{a}+\vec{a}=2\vec{a} mit \vec{a}= \left(\begin{array}{c}1\\3 \end{array}\right)
b) Zeichne ein zweidimensionales Koordinatensystem und ermittle zeichnerisch \vec{a}+\vec{a}+\vec{a}=3\vec{a} mit \vec{a}= \left(\begin{array}{c}-2\\1 \end{array}\right)

AFB   IKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   6 min
Quelle   Torben WürthLizenz   CC BY-SA

a) 2\left(\begin{array}{c}1\\3 \end{array}\right)=
b) 3\left(\begin{array}{c}-2\\1 \end{array}\right)=
c) 6\left(\begin{array}{c}-1\\6 \end{array}\right)=
d) \frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}-3\\18 \end{array}\right)=
e) 2\left(\begin{array}{c}\frac{3}{7}\\5 \end{array}\right)+ 3\left(\begin{array}{c}\frac{5}{7}\\5 \end{array}\right)-4\left(\begin{array}{c}\frac{1}{7}\\5 \end{array}\right)=
f)-2\left(\begin{array}{c}1\\0,5\\4\end{array}\right)-4\left(\begin{array}{c}-1\\0,5\\4\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}-1\\-2\\20\end{array}\right)=

AFB   IKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   10 min
Quelle   Torben WürthLizenz   CC BY-SA

Im Segel-Wettbewerb müssen nacheinander die einzelnen Bojen B_1 bis B_4 von außen umfahren werden. Das Rennen beginnt im Punkt S(40|0) und endet im Punkt Z(130|0).
 
Das Segelteam steuert das Schiff um die Bojen, sie segeln also entlang der folgenden Vektoren:
\overrightarrow{s_1}= \left(\begin{array}{c} -20 \\ 80 \end{array}\right), \overrightarrow{s_2}= \left(\begin{array}{c} 20 \\ 50 \end{array}\right), \overrightarrow{s_3}= \left(\begin{array}{c} 75 \\ 40 \end{array}\right), \overrightarrow{s_4}= \left(\begin{array}{c} 35 \\ -55 \end{array}\right) und \overrightarrow{s_5}= \left(\begin{array}{c} -20 \\ -155 \end{array}\right)
 
segelregatta teil1.png
Drücke die Vektoren \overrightarrow{s_1}, \overrightarrow{s_2}, \overrightarrow{s_3}, \overrightarrow{s_4} und \overrightarrow{s_5} durch Linearkombinationen folgender Vektoren aus:
 
\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 25 \\ 10 \end{array}\right), \vec{b}=\left(\begin{array}{c} -10 \\ 10 \end{array}\right), \vec{c}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 30 \end{array}\right), \vec{d}=\left(\begin{array}{c} 80 \\ 0 \end{array}\right)

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Quelle   Beckstette, LautenschlagerLizenz   CC BY-SA

Segelregatta Teil 2.jpg
Im Segel-Wettbewerb müssen nacheinander die einzelnen Bojen B_1 bis B_4 von außen umfahren werden. Das Rennen beginnt im Punkt S(40|0) und endet im Punkt Z(130|0).

Das Segelteam steuert den untenstehenden Kurs um die Bojen. Dabei dient der „Landungspunkt“ jedes Vektors immer als Startpunkt für den neuen Vektor.

\overrightarrow{f_1}= 3 \vec{b}+\frac{5}{3} \vec{c}, \qquad \overrightarrow{f_2}= \vec{a}- 2\vec{b}+\frac{7}{2} \vec{c}
  
\overrightarrow{f_3}= \vec{a}- \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{d}, \qquad \overrightarrow{f_4}= 2\vec{b}-6,5\vec{c}

mit \vec{a}=\left(\begin{array}{c} 25 \\ 10  \end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c} -10 \\ 10 \end{array}\right), \quad \vec{c}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 30  \end{array}\right), \quad \vec{d}=\left(\begin{array}{c} 80 \\ 0 \end{array}\right)

Prüfe, ob der Kurs den Regeln der Regatta entspricht. Begründe deine Entscheidung.

AFB   IKompetenzen   K3 K4 K5Bearbeitungszeit   5 min
Quelle   Beckstette, LautenschlagerLizenz   CC BY-SA

Im Segel-Wettbewerb müssen nacheinander die einzelnen Bojen B_1 bis B_4 von außen umfahren werden. Das Rennen beginnt im Punkt S(40|0) und endet im Punkt Z(130|0).
 
Das Segelteam steuert das Schiff um die Bojen, sie segeln also entlang der folgenden Vektoren:
\overrightarrow{s_1}= \left(\begin{array}{c} -20 \\ 80 \end{array}\right), \overrightarrow{s_2}= \left(\begin{array}{c} 20 \\ 50 \end{array}\right), \overrightarrow{s_3}= \left(\begin{array}{c} 75 \\ 40 \end{array}\right), \overrightarrow{s_4}= \left(\begin{array}{c} 35 \\ -55 \end{array}\right) und \overrightarrow{s_5}= \left(\begin{array}{c} -20 \\ -155 \end{array}\right).
 
Berechne die Gesamtlänge dieses Segelkurses. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 100 Metern in der Wirklichkeit.
 
SegelregattaTeil3.png

AFB   IKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   5 min
Quelle   Beckstette, LautenschlagerLizenz   CC BY-SA

Der Vektor \vec{a}= \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array}\right) verläuft parallel zur zweiten Winkelhalbierenden.
Zusätzlich soll gelten: \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right) +  \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 0,5 \\ d \end{array}\right).
Bestimme den Wert von d.

AFB   IKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   5 min
Quelle   Daniel StockerLizenz   CC BY-SA

Gegeben sind die Punkte A(3|1|5), B(5|2|4) und C(8|7|1).
Berechne die Koordinaten von einem Punkt D(d_1|d_2|d_3), wobei gilt: \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{o}

AFB   IKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   5 min
Quelle   Daniel StockerLizenz   CC BY-SA

In einem Koordinatensystem ist ein gerader Zylinder mit dem Radius 5 und der Höhe 10 gegeben, dessen Grundfläche in der x_1x_2-Ebene liegt.  M(8|5|10) ist der Mittelpunkt der Deckfläche.

  1. Weise nach, dass der Punkt P(5|1|0)  auf dem Rand der Grundfläche des Zylinders liegt.
  2. Unter allen Punkten auf dem Rand der Deckfläche hat der Punkt  S  den kleinsten Abstand von  P , der Punkt  T  den größten. Gib die Koordinaten von  S  an und bestimme die Koordinaten von  T .
AFB   IIKompetenzen   K1 K2 K5Bearbeitungszeit   10 min
Quelle   IQBLizenz   k.A.

Im abgebildeten Sechseck ABCDEF sind jeweils zwei Seiten parallel zueinander.
Sechseckvektoren.png

  1. Stelle die Vektoren \Vec{x}  und \Vec{y}  jeweils mithilfe der Eckpunkte des Sechsecks dar. \Vec{x}=\Vec{b}+\Vec{c}+\Vec{d} \qquad \Vec{y}=\Vec{a}+\Vec{c}
  2. Stelle den Vektor \overrightarrow{FB}  mithilfe drei der Vektoren \Vec{a}, \Vec{b}, \Vec{c}, \Vec{d}, \Vec{e}  und \Vec{f}  dar.
  3. Der Punkt A hat in einem kartesischen Koordinatensystem die Koordinaten x_1 = 6, x_2 = 2  und x_3=-4 Der Mittelpunkt der Strecke \overline{AB}  wird mit M  bezeichnet. Der Punkt K(2|0|8) ist der Mittelpunkt der Strecke  \overline{AM} . Ermittle die Koordinaten von B.
AFB   IIKompetenzen   K2 K4 K5Bearbeitungszeit   10 min
Quelle   IQBLizenz   k.A.

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1|2|5), B(2|7|8) und C(-3|2|4) gegeben.

  1. Weise nach, dass A, B und C Eckpunkte eines Dreiecks sind.
  2. Für jede reelle Zahl a ist ein Punkt  D_a(a|2+a\sqrt{2}|5+\sqrt{2})  gegeben. Bestimme alle Werte von a, für die die Strecke von  A nach D_a die Länge 2 hat.
AFB   IIIKompetenzen   K1 K2 K5Bearbeitungszeit   10 min
Quelle   IQBLizenz   k.A.

Gegeben sind die Punkte A(5|-5|12), B(5|5|12) und C(-5|5|12).

  1. Zeige, dass das Dreieck A, B, C gleichschenklig ist.
  2. Begründe, dass A, B und C Eckpunkte eines Quadrats sein können, und gib die Koordinaten des vierten Eckpunktes D dieses Quadrats an.
AFB   IKompetenzen   K1 K5Bearbeitungszeit   10 min
Quelle   IQBLizenz   k.A.

Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken \overline{AB} , \overline{BC} und \overline{CD} mit A(11|11|0), B(-11|11|28), C(11|-11|28) und D(-11|-11|0) besteht (vgl. Abbildung 2). A, B, C und D sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Saarpolygon.PNG

  1. Begründe, dass die Punkte B und C symmetrisch bezüglich der x_3-Achse liegen.
  2. Berechne die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit.
AFB   IKompetenzen   K1 K3 K4 K5Bearbeitungszeit   10 min
Quelle   IQBLizenz   k.A.

Gegeben sind die Punkte A(1|2|3), B(4|6|4), C(2|9|6) und D(-1|5|5).

  1. Zeige, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist.
  2. Der Punkt P liegt auf der Strecke \overline{BD}. Berechne die Koordinaten des Punktes P so, dass er die Strecke \overline{BD} im Verhältnis 1:4 teilt.
AFB   IIKompetenzen   K1 K2 K5Bearbeitungszeit   10 min
Quelle   Beckstette, LautenschlagerLizenz   CC BY-SA

gleichschenkligesdreieckabb1.png
Für k \in \mathbb{R}  mit 0<k\leq 6 werden die Pyramiden ABCD_k  mit A(0|0|0), B(4|0|0), C(0|4|0) und  D_k(0|0|k) betrachtet (vgl. Abbildung)
 

  1. Begründe, dass das Dreieck BCD_k gleichschenklig ist.
  2. Der Mittelpunkt der Strecke \overline{BC} ist M(2|2|0).
    Begründe, dass |\overline{MD_k}|=\left| \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ k \end{array}\right)\right| die Länge einer Höhe des Dreiecks BCD_k ist.
    Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks BCD_k.
AFB   IIIKompetenzen   K1 K2 K4 K5 K6Bearbeitungszeit   10 min
Quelle   IQBLizenz   k.A.

Schwerpunkt.png
Gegeben ist das Dreieck ABC mit den Eckpunkten A(0|0|0), B(2|3|4) und C(-1|5|-2).
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich im Schwerpunkt S.

  1. Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes S.
  2. Weise mit Hilfe von Vektoren nach, dass der Schwerpunkt S die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt.
AFB   IIIKompetenzen   K1 K2 K5Bearbeitungszeit   10 min
Quelle   Beckstette, Fujan, LautenschlagerLizenz   CC BY-SA

Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

K1K2K3K4K5K6
I2022120
II230130
III330131
Bearbeitungszeit gesamt: 142 min
Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst