Wiki-Quellcode von Lösung Flächeninhalte Verhältnis

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2024/10/21 17:51

version	line-number	content
4.1	1	=== Erwartungshorizont ===
1.1	2	Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}}: {{formula}}\frac{1}{2}\cdot\left\|\overline{AB}\right\|\cdot h{{/formula}}
4.1	3
1.1	4	Flächeninhalt des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}}:
	5	{{formula}}\frac{1}{2}\cdot\left(\left\|\overline{AB}\right\|+\left\|\overline{CD}\right\|\right)\cdot h=\frac{1}{2}\cdot\left(\left\|\overline{AB}\right\|+2\cdot\left\|\overline{AB}\right\|\right)\cdot h=\frac{3}{2}\cdot\left\|\overline{AB}\right\|\cdot h{{/formula}}
4.1	6
1.1	7	Das Verhältnis der beiden Flächeninhalte ist 1:3.
	8
4.1	9	=== Erläuterung der Lösung ===
3.1	10	Da {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}{{/formula}} gegeben ist, kann der Gegenvektor von {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} zweimal an {{formula}}C{{/formula}} angehängt werden, um zu {{formula}}D{{/formula}} zu gelangen:
	11	[[image:TrapezErgänzung.PNG\|\|width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
1.1	12	Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC kann (wie bei jedem Dreieck) mit Hilfe der Formel
	13	{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h{{/formula}}
4.1	14
3.2	15	(die Hälfte der Länge der Grundseite {{formula}}g{{/formula}} mal der Länge der Höhe {{formula}}h{{/formula}}) berechnet werden:
4.1	16
3.1	17	{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left\|\overline{AB}\right\|\cdot h{{/formula}}
4.1	18
1.1	19	Für den Flächeninhalt des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}} gilt (wie für jedes Trapez) die Formel
4.1	20
1.1	21	{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(a+c\right)\cdot h{{/formula}}
4.1	22
1.1	23	(der Mittelwert aus den Längen der Grundseite und der ihr gegenüberliegenden „Deckseite“ mal der Höhe).
4.1	24
1.1	25	In unserem Fall:
3.1	26	{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left\|\overline{AB}\right\|+\left\|\overline{CD}\right\|\right)\cdot h{{/formula}}
4.1	27
1.1	28	Nun wissen wir aber aus der Aufgabenstellung, dass gilt:
3.1	29	{{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{OD}-\ \overrightarrow{OC}=-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{CD}=-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \left\|\overline{CD}\right\|=2\cdot\left\|\overline{AB}\right\|{{/formula}}
4.1	30
3.1	31	Also können wir {{formula}}\left\|\overline{CD}\right\|{{/formula}} in der Gleichung des Trapezes ersetzen durch {{formula}}2\cdot\left\|\overline{AB}\right\|{{/formula}}:
	32	{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left\|\overline{AB}\right\|+2\cdot\left\|\overline{AB}\right\|\right)\cdot h{{/formula}}
4.1	33
1.1	34	Ausmultipliziert und vereinfacht ergibt sich hieraus:
3.1	35	{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left\|\overline{AB}\right\|\cdot h{{/formula}}
4.1	36
1.1	37	Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Dreiecksgleichung
4.1	38
3.1	39	{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left\|\overline{AB}\right\|\cdot h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left\|\overline{AB}\right\|\cdot h{{/formula}}
4.1	40
1.1	41	erkennt man, dass der Flächeninhalt des Trapezes dreimal so groß ist wie der des Dreiecks.
4.1	42
1.1	43	Das gesuchte Verhältnis des Inhalts der Fläche des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} zum Inhalt der Fläche des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}} ist somit 1:3.
	44