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Lösung Nachweis Dreieck

Version 17.3 von Frauke Beckstette am 2024/02/05 12:53
  1. Es ist \(\overrightarrow{AB} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 3 \end{array}\right)\) und  \(\overrightarrow{AC} = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)\).
    Da die beiden Vektoren linear unabhängig sind, d.h. \(\overrightarrow{AB} \neq \lambda \cdot \overrightarrow{AC} \), sind \(A, B\) und \(C\) Eckpunkte eines Dreiecks.
  1. Es ist \(\overrightarrow{AD_a}= \left(\begin{array}{c} a-1 \\ a\sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{array}\right)\).
    Für die Länge der Strecke von \(A\) nach \(D_a\) gilt
    \(|\overrightarrow{AD_a}|= \sqrt{(a-1)^2+(a\sqrt{2})^2+{\sqrt{2}}^2}= \sqrt{3a^2-2a+3}.\)

Nun soll die Länge der Strecke 2 sein:

\[\begin{align} |\overrightarrow{AD_a}| &=2 \\ \Leftrightarrow \sqrt{3a^2-2a+3} &= 2 \quad \mid ()^2 \\ \Leftrightarrow 3a^2-2a+3 &= 4 \quad \mid -4 \\ \Leftrightarrow 3a^2-2a-1 &= 0 \end{align}\]

Mithilfe der Mitternachtsformel ergibt sich als Lösung

\[\begin{align} a_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 3 \cdot (-1)}}{2\cdot 3} = \frac{2\pm 4}{6} \\ \Rightarrow a_1=\frac{2+6}{6}=1; \quad a_2 = \frac{2-4}{6}= -\frac{1}{3} \end{align}\]