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Wiki-Quellcode von Lösung Nachweis Dreieck

Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/14 15:56
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1 1. Es ist {{formula}}\overrightarrow{AB} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 3 \end{array}\right){{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AC} = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right){{/formula}}.
2 Da die beiden Vektoren linear unabhängig sind, d.h. {{formula}}\overrightarrow{AB} \neq \lambda \cdot \overrightarrow{AC} {{/formula}}, sind {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} Eckpunkte eines Dreiecks.
3
4 1. Es ist {{formula}}\overrightarrow{AD_a}= \left(\begin{array}{c} a-1 \\ a\sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{array}\right){{/formula}}.
5 Für die Länge der Strecke von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D_a{{/formula}} gilt
6 {{formula}}
7 |\overrightarrow{AD_a}|= \sqrt{(a-1)^2+(a\sqrt{2})^2+{\sqrt{2}}^2}= \sqrt{3a^2-2a+3}.
8 {{/formula}}
9
10 Nun soll die Länge der Strecke 2 sein:
11
12 {{formula}}
13 \begin{align*}
14 |\overrightarrow{AD_a}| &=2 \\
15 \Leftrightarrow \sqrt{3a^2-2a+3} &= 2 \quad \mid ()^2 \\
16 \Leftrightarrow 3a^2-2a+3 &= 4 \quad \mid -4 \\
17 \Leftrightarrow 3a^2-2a-1 &= 0
18 \end{align*}
19 {{/formula}}
20
21 Mithilfe der Mitternachtsformel ergibt sich als Lösung
22
23 {{formula}}
24 \begin{align*}
25 a_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 3 \cdot (-1)}}{2\cdot 3} = \frac{2\pm 4}{6} \\
26 \Rightarrow a_1=\frac{2+6}{6}=1; \quad a_2 = \frac{2-4}{6}= -\frac{1}{3}
27 \end{align*}
28 {{/formula}}