Lösung Dreieck, Seiten und Winkel

Zuletzt geändert von akukin am 2025/07/02 11:11

Seitenlängen:
Seite $\overline{AB}$ :
Zunächst stellen wir den Vektor $\overrightarrow{AB}$ auf: $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{matrix}7-(-1)\\1-(-1)\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\\\end{matrix}\right)$
Nun berechnen wir die Seitenlänge: $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{8^2+2^2}=\sqrt{68}\approx 8,25$

Seite $\overline{BC}$ :
$\overrightarrow{BC}=\left(\begin{matrix}1-7\\3-1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\\\end{matrix}\right)$
$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-6)^2+2^2}=\sqrt{40}\approx 6,32$

Seite $\overline{AC}$ :
$\overrightarrow{AC}=\left(\begin{matrix}1-(-1)\\3-(-1)\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\\\end{matrix}\right)$
$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}\approx 4,47$

Innenwinkel:
Zur Berechnung der Innenwinkel verwenden wir die Formel

$\begin{align} &\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}\\ \Leftrightarrow \ &\alpha=\cos^{-1}\left( \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|} \right) \end{align}$

Winkel zwischen $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ :

$\alpha_1=\cos^{-1}\left( \frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{\left(\begin{matrix}8\\2\\\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}2\\4\\\end{matrix}\right)}{\sqrt{68}\cdot \sqrt{20}} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{8\cdot 2+2\cdot 4}{\sqrt{68}\cdot \sqrt{20}} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{24}{\sqrt{1360}} \right)\approx 49,40^\circ$

Winkel zwischen $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$ :

$\alpha_2=\cos^{-1}\left( \frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{\left(\begin{matrix}-8\\-2\\\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}-6\\2\\\end{matrix}\right)}{\sqrt{68}\cdot \sqrt{40}} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{(-8)\cdot(-6)+(-2)\cdot2}{\sqrt{68}\cdot \sqrt{40}} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{44}{\sqrt{2720}} \right)\approx 32,47^\circ$

Da wir wissen, dass die Winkelsumme in einem Dreieck 180° beträgt, lässt sich der letzte Winkel (zwischen $\overrightarrow{CA}$ und $\overrightarrow{CB}$ ) berechnen durch:
$\alpha_3=180^\circ-\alpha_1-\alpha_2 \approx 180^\circ-49,40^\circ- 32,47^\circ=98,13°$

Anmerkung: Je nachdem, wie man rundet, können die Winkel leicht abweichen.