BPE 7.3 Skalarprodukt, Winkel und Orthogonalität

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2024/02/09 08:55

Inhalt

AFB I Winkel berechnen Orthogonalen Vektor finden Flächenberechnung Dreieck Bierfass
AFB II Skalarprodukt null Orthogonalität transitiv Quadrat begründen Pfahlbauten Punktbestimmung durch Skalarprodukt
AFB III Skalarprodukt negativ Drachen begründen

Kompetenzen

K6 Ich kann die Bedeutung des Skalarprodukts in der Geometrie erläutern
K5 Ich kann Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen
K5 K6 Ich kann geometrische Objekte in Ebene und Raum untersuchen

Aufgabe 1 Winkel berechnen 𝕋𝕃

Berechne jeweils den Winkel zwischen den beiden Vektoren:

a) $\vec a = \left(\begin{array}{c} 7 \\ 5 \\ -3\end{array}\right), \vec b = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2\end{array}\right)$

b) $\vec a = \left(\begin{array}{c} 7 \\ 5 \\ -3\end{array}\right), \vec c = \left(\begin{array}{c} 1,5 \\ 2,1 \\ 7\end{array}\right)$

AFB I	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 3 min
Quelle Kim Fujan, Daniel Stocker		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 2 Orthogonalen Vektor finden 𝕃

Bestimme a, sodass der Vektor $\vec u = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 2\end{array}\right)$ zu dem Vektor $\vec v = \left(\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ a \\ 1\end{array}\right)$ orthogonal ist.

AFB I	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 3 min
Quelle Kim Fujan, Daniel Stocker		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 3 Flächenberechnung Dreieck 𝕋𝕃

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die Punkte A(2|-1|4), B(0|9|-3), C(-2|5|1) festgelegt wird.

AFB I	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 5 min
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Aufgabe 4 Bierfass 𝕃

Du kaufst für eine Party ein 10l Bierfass, die Gewichtskraft F beträgt 98,1N und wirkt senkrecht zum Erdboden nach unten. Um das Fass locker ins Auto zu bekommen, nutzt du eine Rampe. Die Rampe hat eine Länge von 2m, der Kofferraum hat eine Höhe von 0,5m. Wähle die Start- und Endkoordinaten der Rampe sinnvoll und berechne damit die geleistete Arbeit in J(Joule) mit der Formel $W = \vec F \cdot \vec s$ , wobei $\vec s$ der Vektor vom Start- zum Endpunkt der Rampe ist.

AFB I	Kompetenzen K3 K4 K5	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle Kim Fujan, Daniel Stocker		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 5 Skalarprodukt null 𝕃

Gegeben ist der Vektor

$\vec a = \left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1\end{array}\right)$

Gib einen Vektor an, der orthogonal zu diesem ist!

AFB II	Kompetenzen K2 K5	Bearbeitungszeit 2 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 6 Orthogonalität transitiv 𝕃

Von drei Vekoren im Raum ist folgendes bekannt. Vektor $\vec b$ steht auf $\vec a$ senkrecht und $\vec c$ auf $\vec b$ . Kann man daraus folgern, dass auch $\vec c$ auf $\vec a$ senkrecht stehen muss?
Begründe deine Antwort!

AFB II	Kompetenzen K1 K2	Bearbeitungszeit 3 min
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Aufgabe 7 Quadrat begründen 𝕋𝕃

Begründe, dass es sich bei dem gegebenen Viereck um ein Quadrat handelt: A(5|-1|3), B(1|1|-1), C(-1|5|3), D(3|3|7).

AFB II	Kompetenzen K1 K5 K6	Bearbeitungszeit 4 min
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Aufgabe 8 Pfahlbauten 𝕋𝕃

Es soll eine Rekonstruktion eines Hauses der Pfahlbauten am Bodensee gebaut werden. Die vertikalen Pfosten haben eine Gesamthöhe von 7,5m. Das Dach hat die Form eines Dreieckprismas (siehe Nebenstehende Abbildung). Die Dicke der Bauteile des Hauses soll vernachlässigt werden. Die Eckpunkte haben die Koordinaten A(-2| 1|w), B, C(5|-5|w), D, E, F(5|1|3), G, H, I(1,5|1|5), J mit $w \in \mathbb{R}$ . Die x₁ x₂- Ebene bildet die Wasseroberfläche. 1m in der Wirklichkeit entspricht einer Längeneinheit im Koordinatensystem.
a) Wieviel Meter der Pfosten befinden sich oberhalb des Wassers?
b) Gebe die Koordinaten der Punkte G, H und J an.
c) Berechne die Dachfläche.
d) Berechne den Neigungswinkel des Daches.

AFB II	Kompetenzen K3 K5 K6	Bearbeitungszeit 9 min
Quelle Kim Fujan, Daniel Stocker		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 9 Skalarprodukt negativ 𝕋𝕃

Gib zwei Vektoren an, deren Skalarprodukt negativ ist. Prüfe, ob der Winkel zwischen den Vektoren größer 90° ist. Ist das immer so? Begründe!

AFB III	Kompetenzen K1 K2 K5	Bearbeitungszeit 5 min
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Aufgabe 10 Drachen begründen 𝕋𝕃

Begründe, dass es sich bei dem gegebenen Viereck um einen Drachen handelt: A(8,5|5|-3,5), B(4|5|-2), C(-3,5|8|2,5), D(5|7|-1).

AFB III	Kompetenzen K1 K5 K6	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle Kim Fujan, Daniel Stocker		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 11 Punktbestimmung durch Skalarprodukt (eAN)𝕋𝕃

Gegeben sind die Punkte A(2|-3|1) und B(2|3|1).

Begründe, dass die Gerade durch und parallel zur y-Achse verläuft.
Der Punkt liegt auf der y-Achse. Die Gerade durch und steht senkrecht zur Gerade durch und . Bestimme die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punkts haben.