BPE 7.3 Skalarprodukt, Winkel und Orthogonalität

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2024/02/09 08:55

Inhalt

Kompetenzen

K6 Ich kann die Bedeutung des Skalarprodukts in der Geometrie erläutern
K5 Ich kann Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen
K5 K6 Ich kann geometrische Objekte in Ebene und Raum untersuchen

Berechne jeweils den Winkel zwischen den beiden Vektoren:

a) \vec a = \left(\begin{array}{c} 7 \\ 5 \\ -3\end{array}\right), \vec b = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2\end{array}\right)
 
b) \vec a = \left(\begin{array}{c} 7 \\ 5 \\ -3\end{array}\right), \vec c = \left(\begin{array}{c} 1,5 \\ 2,1 \\ 7\end{array}\right)

AFB   IKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   3 min
Quelle   Kim Fujan, Daniel StockerLizenz   CC BY-SA

Bestimme a, sodass der Vektor \vec u = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 2\end{array}\right) zu dem Vektor \vec v = \left(\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ a \\ 1\end{array}\right) orthogonal ist.

AFB   IKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   3 min
Quelle   Kim Fujan, Daniel StockerLizenz   CC BY-SA

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die Punkte A(2|-1|4), B(0|9|-3), C(-2|5|1) festgelegt wird.

AFB   IKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   5 min
Quelle   Kim Fujan, Daniel StockerLizenz   CC BY-SA

Du kaufst für eine Party ein 10l Bierfass, die Gewichtskraft F beträgt 98,1N und wirkt senkrecht zum Erdboden nach unten. Um das Fass locker ins Auto zu bekommen, nutzt du eine Rampe. Die Rampe hat eine Länge von 2m, der Kofferraum hat eine Höhe von 0,5m. Wähle die Start- und Endkoordinaten der Rampe sinnvoll und berechne damit die geleistete Arbeit in J(Joule) mit der Formel W = \vec F \cdot \vec s , wobei \vec s  der Vektor vom Start- zum Endpunkt der Rampe ist.

AFB   IKompetenzen   K3 K4 K5Bearbeitungszeit   5 min
Quelle   Kim Fujan, Daniel StockerLizenz   CC BY-SA

Gegeben ist der Vektor

\vec a = \left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1\end{array}\right)

Gib einen Vektor an, der orthogonal zu diesem ist!

AFB   IIKompetenzen   K2 K5Bearbeitungszeit   2 min
Quelle   Holger EngelsLizenz   CC BY-SA

Von drei Vekoren im Raum ist folgendes bekannt. Vektor \vec b steht auf \vec a senkrecht und \vec c auf \vec b. Kann man daraus folgern, dass auch \vec c auf \vec a senkrecht stehen muss?
Begründe deine Antwort!

AFB   IIKompetenzen   K1 K2Bearbeitungszeit   3 min
Quelle   Holger EngelsLizenz   CC BY-SA

Begründe, dass es sich bei dem gegebenen Viereck um ein Quadrat handelt: A(5|-1|3), B(1|1|-1), C(-1|5|3), D(3|3|7).

AFB   IIKompetenzen   K1 K5 K6Bearbeitungszeit   4 min
Quelle   Kim Fujan, Daniel StockerLizenz   CC BY-SA

  Pfahlbauten.jpg
Es soll eine Rekonstruktion eines Hauses der Pfahlbauten am Bodensee gebaut werden. Die vertikalen Pfosten haben eine Gesamthöhe von 7,5m. Das Dach hat die Form eines Dreieckprismas (siehe Nebenstehende Abbildung). Die Dicke der Bauteile des Hauses soll vernachlässigt werden. Die Eckpunkte haben die Koordinaten A(-2| 1|w), B, C(5|-5|w), D, E, F(5|1|3), G, H, I(1,5|1|5), J  mit w \in \mathbb{R}. Die x1 x2- Ebene bildet die Wasseroberfläche. 1m in der Wirklichkeit entspricht einer Längeneinheit im Koordinatensystem.
a) Wieviel Meter der Pfosten befinden sich oberhalb des Wassers?
b) Gebe die Koordinaten der Punkte G, H und J an.
c) Berechne die Dachfläche.
d) Berechne den Neigungswinkel des Daches.

AFB   IIKompetenzen   K3 K5 K6Bearbeitungszeit   9 min
Quelle   Kim Fujan, Daniel StockerLizenz   CC BY-SA

Gib zwei Vektoren an, deren Skalarprodukt negativ ist. Prüfe, ob der Winkel zwischen den Vektoren größer 90° ist. Ist das immer so? Begründe!

AFB   IIIKompetenzen   K1 K2 K5Bearbeitungszeit   5 min
Quelle   Holger EngelsLizenz   CC BY-SA

Begründe, dass es sich bei dem gegebenen Viereck um einen Drachen handelt: A(8,5|5|-3,5), B(4|5|-2), C(-3,5|8|2,5), D(5|7|-1).

AFB   IIIKompetenzen   K1 K5 K6Bearbeitungszeit   5 min
Quelle   Kim Fujan, Daniel StockerLizenz   CC BY-SA

Gegeben sind die Punkte A(2|-3|1) und B(2|3|1).

  1. Begründe, dass die Gerade durch A  und B parallel zur y-Achse verläuft.
  2. Der Punkt C liegt auf der y-Achse. Die Gerade durch A und C steht senkrecht zur Gerade durch B und  C. Bestimme die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punkts C haben.
AFB   IIKompetenzen   K1 K2 K4 K5 K6Bearbeitungszeit   6 min
Quelle   IQBLizenz   k.A.

Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

K1K2K3K4K5K6
I001140
II331143
III210021
Bearbeitungszeit gesamt: 50 min
Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst