BPE 10.5 Trigonometrische Gleichungen

1  Anzahl Lösungen  (8 min) 𝕋  𝕃

Stelle jeweils eine trigonometrische Gleichung auf, die a) eine, b) zwei, c) keine Lösungen pro Periode hat.

2  Lösen durch skizzieren  (5 min) 𝕋  𝕃

Bestimme graphisch alle Lösungen der Gleichung \(0=\sin(\frac{\pi}{2}x)+1\) im Intervall [-4;4].

3  Lösungen angeben  (10 min) 𝕀  𝕃

Gegeben ist die Gleichung \(\sin(x)=0.5\).

1. Gib alle Lösungen für das Intervall \(I_1=[-\pi; 2\pi]\) an.
2. Gib alle Lösungen im Definitionsbereich \(\boldsymbol{D}=\mathbb{R}\) an.

4  Lösen  (15 min) 𝕀  𝕃

Bestimme jeweils die Lösungsmenge für \(x\in \mathbb{R}\).

1. \(2 \cos{x} = 2\)
2. \(2 \sin{(2x)} = \sqrt{3}\)
3. \(\cos{(\pi(x+1))}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

5  Gleichungen angeben  (10 min) 𝕋  𝕃

Ermittle zwei verschiedene trigonometrische Gleichungen und ein jeweils passendes Intervall, so dass die Lösungsmenge der Gleichungen \(\boldsymbol{L}=[-\pi; \pi]\) ist.

6  Anzahl Gleichungslösungen  (k.A.) 𝕃

Gegeben sind die in \(\mathbb{R}\) definierten Funktionen \( f: x \mapsto \cos(x)\) und \( g_k: x \mapsto k\cdot x^2\) mit \( k \in \mathbb{R}^+\). Die Abbildung zeigt die Graphen von \(f\) und \(g_{\frac{1}{50}}\).

Entscheide, ob es Werte von \(k\) gibt, für die die Gleichung \(f(x)=g_k(x)\) mehr als 2022 Lösungen hat. Begründe deine Entscheidung.