Lösung Differenzfunktion

Version 2.1 von Timm Sonnet am 2026/05/13 12:58

Es werden die (nicht konstanten) Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) betrachtet. Außerdem die quadratische Differenzfunktion \(d(x)=f(x)-g(x)\). Die Grafik zeigt das Schaubild \(K_d\).

a) Nenne (nur) mithilfe der Grafik die Schnittstellen von \(K_f\) und \(K_g\) und begründe dein Vorgehen.

Die Schnittstellen lauten \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). Diese ergeben sich direkt aus den Nullstellen von \(d(x)\), da der Ansatz \(f(x)=g(x)\) sich durch Subtraktion von \(g(x)\) zu \(f(x)-g(x) = 0\) umformen lässt. Da \(d(x)=f(x)-g(x)\) folgt \(d(x)=0\), was dem Nullstellenansatz von \(d(x)\) entspricht.

b) Bestimme die Funktionsgleichung der Differenzfunktion . Ermittle anschließend die noch fehlenden y-Koordinaten von den Schnittpunkten von \(K_f\) und \(K_g\).

Der Scheitel der Parabel liegt bei \(S(2|-2)\). Die Scheitelpunktform lautet daher zunächst \(d(x)=a\cdot(x-2)^2-2\). Einsetzen des Punktes P(0|0) liefert:

\[\begin{aligned} 0 &= a \cdot (0-2)^2-2 \\ 0 &= 4a - 2 \\ a &= \frac{1}{2} \end{aligned}\]