BPE 11.1 Verknüpfung
K5 Ich kann Funktionsterme durch Verknüpfung aus bereits bekannten Funktionstypen bestimmen
K5, K4 Ich kann ausgehend von meinen Kenntnissen über bereits bekannte Funktionstypen Eigenschaften, der durch die Verknüpfung entstandenen Funktionen untersuchen
1 Globales Verhalten (k.A.) 𝕃
Bestimme das Verhalten der verknüpften Funktion für \(x \to \infty\) und für \(x \to -\infty\).
- \(f(x) = -e^{-2x}+x^2\)
- \(f(x) = \cos(x)-2^x\)
- \(f(x) = (-x)\cdot e^x\)
| AFB I - K1 K5 | Quelle k.A. |
2 Symmetrie (k.A.) 𝕋 𝕃
Max betrachtet die auf \(\mathbb{R}\) definierten Funktionen \(u(x)\) und \(v(x)\) deren Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse sind. Er behauptet, dass auch die Verknüpfung \(f(x)=u(x)\cdot v(x)\) ein zur y-Achse symmetrisches Schaubild besitzt.
- Zeige rechnerisch, dass Max recht hat.
- Untersuche, wie sich die Symmetrie der Verknüpfung \(f(x)=u(x)\cdot v(x)\) für zum Ursprung punktsymmetrische \(u(x)\) und \(v(x)\) verhält.
- Ermittle die Symmetrie-Eigenschaften von \(K_f\) mit \(f(x)=u(x)\cdot v(x)\). Gebe diese in der Tabelle an.
| \(f(x)=u(x)\cdot v(x)\) | \(K_u \) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse | \(K_u\) punktsymmetrisch zum Ursprung |
| \(K_v \) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse | \(K_f \) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse | |
| \(K_v\) punktsymmetrisch zum Ursprung |
| AFB II - K1 K4 K5 | Quelle Timm Sonnet, Daniel Rossdeutscher |
3 Finde den Verknüpfungsoperator (10 min) 𝕃
Die Funktionen \(u(x)\) und \(v(x)\) werden durch Addition oder Multiplikation miteinander verknüpft. Ergänze die Tabelle:
| \(u(x)\) | \(v(x)\) | Graph der verknüpften Funktion | Verknüpfungsoperator | verknüpfte Funktion |
|---|---|---|---|---|
| \(x\) | \(e^{-x}\) |  | ||
| \(x^2\) | \(e^{-x}\) |  | ||
| \(\cos(x)\) | \(x\) |  | ||
| \(-e^x\) | \(-2x\) |  | ||
| \(e^{0.5x}\) | \(\sin(x)\) |  |
| AFB II - K4 K5 | Quelle Katharina Justice |
4 Folgerungen über die Verknüpfung zweier Funktionen (k.A.) 𝕃
\(u(x)\) und \(v(x)\) sind zwei Funktionen. Beurteile die folgenden Aussagen:
- Wenn \(u(x)\) oder \(v(x)\) Nullstellen besitzen, so hat \(u(x)\cdot v(x)\) auch Nullstellen.
- Angenommen \(u(x)\) ist eine Exponentialfunktion. Dann muss \(u(x)+v(x)\) eine waagerechte Tangente besitzen.
- Angenommen \(u(x)\) und \(v(x)\) sind zur Y-Achse achsensymmetrische Funktionen. Dann ist das Produkt der beiden Funktionen eine zur Y-Achse achsensymmetrische Funktion.
- Angenommen \(u(x)\) und \(v(x)\) sind zum Urpsrung punktsymmetrische Funktionen. Dann ist die Summe der beiden Funktionen wieder eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion.
| AFB II - K5 K6 | Quelle Katharina Justice |
5 Verknüpfen und Beschreiben (k.A.) 𝕃
Gegeben sind \(u(x)=x\) und \( v(x) = \sin(x)\) und \( k(x)=e^{-x} \)
- Beschreibe den Graphen von \(u(x)+v(x)+k(x)\) mit möglichst vielen Eigenschaften
- Beschreibe den Graphen von \(u(x)\cdot v(x)\cdot k(x)\) mit möglichst vielen Eigenschaften
| AFB III - K1 K4 K6 | Quelle Katharina Justice |