Lösung Differenzfunktion

Zuletzt geändert von Timm Sonnet am 2026/05/13 13:19

Es werden die (nicht konstanten) Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) betrachtet. Außerdem die quadratische Differenzfunktion \(d(x)=f(x)-g(x)\). Die Grafik zeigt das Schaubild \(K_d\).

a) Nenne (nur) mithilfe der Grafik die Schnittstellen von \(K_f\) und \(K_g\) und begründe dein Vorgehen.

Die Schnittstellen lauten \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). Diese ergeben sich direkt aus den Nullstellen von \(d(x)\), da der Ansatz \(f(x)=g(x)\) sich durch Subtraktion von \(g(x)\) zu \(f(x)-g(x) = 0\) umformen lässt. Da \(d(x)=f(x)-g(x)\) folgt \(d(x)=0\), was dem Nullstellenansatz von \(d(x)\) entspricht.

b) Bestimme die Funktionsgleichung der Differenzfunktion . Ermittle anschließend die noch fehlenden \(y\)-Koordinaten von den Schnittpunkten von \(K_f\) und \(K_g\).

Der Scheitel der Parabel liegt bei \(S(2|-2)\). Die Scheitelpunktform lautet daher zunächst \(d(x)=a\cdot(x-2)^2-2\). Einsetzen des Punktes \(P(0|0)\) liefert:

\[\begin{aligned} 0 &= a \cdot (0-2)^2-2 \\ 0 &= 4a - 2 \\ a &= \frac{1}{2} \end{aligned}\]

Es folgt damit: \( d(x)=\frac12 \cdot(x-2)^2-2\) (Da \(g(x)\) nicht konstant ist, kann \(g(x)=2\) nicht stimmen.)

Auflösen der Klammern liefert:

\[\begin{aligned} d(x) &= \frac12 \cdot (x-2)^2-2 \\ &= \frac12 \cdot (x^2-4x+4) - 2 \\ &= \frac12 x^2 -2x +2 -2 \\ &= \frac12 x^2 - 2x \end{aligned}\]

\(\Rightarrow f(x)=\frac12 x^2\) und \(g(x)=2x\)

Zuletzt können mithilfe von \(g(x)=2x\) (oder mithilfe von \(f(x)\)) und Einsetzen der Schnittstellen \(x_1\) und \(x_2\) die fehlenden \(y\)-Koordinaten berechnet werden.

\[\begin{aligned} g(0)=0 \\ g(4)=8 \end{aligned}\]

\(\Rightarrow K_f\) und \(K_g\) schneiden sich in den Punkten \(P(0|0)\) und \(Q(4|8)\).