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Lösung Folgerungen über die Verknüpfung zweier Funktionen

Zuletzt geändert von akukin am 2025/11/05 17:36
  1. Falsch. Betrachte als Gegenbeispiel die Funktionen \(u(x)=x\) und \(v(x)=\frac{1}{x}\). Dann bestitzt \(u(x)\) an der Stelle \(x=0\) eine Nullstelle, jedoch besitzt das Produkt der beiden Funktionen \(u(x)\cdot v(x)=x\cdot\frac{1}{x}=1\) keine Nullstelle.
  2. Falsch. Ein Gegenbeispiel wäre beispielsweise \(u(x)=e^{x}\) und \(v(x)=x\). Dann ist \(f(x)=u(x)+v(x)=e^{x}+x\).
    Die Ableitung der Funktion \(f^\prime(x)=e^x+1\) wird niemals null und somit bestizt \(f(x)=u(x)+v(x)\) keine waagerechte Tangente.

  3. Richtig. Für das Produkt \(f(x)=u(x)\cdot v(x)\) gilt \(f(-x)=u(-x)\cdot v(-x)\overset{*}{=}u(x)\cdot v(x)=f(x)\).
    Damit ist das Produkt achsensymmetrisch zur y-Achse.

    *: Da nach Voraussetzung \(u(x)\) und \(v(x)\) achsensymmetrisch sind, gilt \(u(-x)=u(x)\) und \(v(-x)=v(x)\).

  4. Richtig. Für die Summe \(f(x)=u(x)+v(x)\) gilt \(f(-x)=u(-x)+v(-x)\overset{*}{=}-u(x)+(-v(x))=-(u(x)+v(x))=-f(x)\).
    Damit ist das Produkt achsensymmetrisch zur y-Achse.

    *: Da nach Voraussetzung \(u(x)\) und \(v(x)\) punktsymmetrisch sind, gilt \(u(-x)=-u(x)\) und \(v(-x)=-v(x)\).