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Zuletzt geändert von akukin am 2025/11/05 17:36
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1 (%class=abc%)
2 1. Falsch. Betrachte als Gegenbeispiel die Funktionen {{formula}}u(x)=x{{/formula}} und {{formula}}v(x)=\frac{1}{x}{{/formula}}. Dann bestitzt {{formula}}u(x){{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}} eine Nullstelle, jedoch besitzt das Produkt der beiden Funktionen {{formula}}u(x)\cdot v(x)=x\cdot\frac{1}{x}=1{{/formula}} keine Nullstelle.
3 1. Falsch. Ein Gegenbeispiel wäre beispielsweise {{formula}}u(x)=e^{x}{{/formula}} und {{formula}}v(x)=x{{/formula}}. Dann ist {{formula}}f(x)=u(x)+v(x)=e^{x}+x{{/formula}}.
4 Die Ableitung der Funktion {{formula}}f^\prime(x)=e^x+1{{/formula}} wird niemals null und somit bestizt {{formula}}f(x)=u(x)+v(x){{/formula}} keine waagerechte Tangente.
5 1. (((Richtig. Für das Produkt {{formula}}f(x)=u(x)\cdot v(x){{/formula}} gilt {{formula}}f(-x)=u(-x)\cdot v(-x)\overset{*}{=}u(x)\cdot v(x)=f(x){{/formula}}.
6 Damit ist das Produkt achsensymmetrisch zur y-Achse.
7
8 //*: Da nach Voraussetzung {{formula}}u(x){{/formula}} und {{formula}}v(x){{/formula}} achsensymmetrisch sind, gilt {{formula}}u(-x)=u(x){{/formula}} und {{formula}}v(-x)=v(x){{/formula}}.//)))
9 1. (((Richtig. Für die Summe {{formula}}f(x)=u(x)+v(x){{/formula}} gilt {{formula}}f(-x)=u(-x)+v(-x)\overset{*}{=}-u(x)+(-v(x))=-(u(x)+v(x))=-f(x){{/formula}}.
10 Damit ist das Produkt achsensymmetrisch zur y-Achse.
11
12 //*: Da nach Voraussetzung {{formula}}u(x){{/formula}} und {{formula}}v(x){{/formula}} punktsymmetrisch sind, gilt {{formula}}u(-x)=-u(x){{/formula}} und {{formula}}v(-x)=-v(x){{/formula}}.//)))