Lösung Globales Verhalten

Für \(x \rightarrow \infty\) geht der Term \(-e^{-2x}=\frac{1}{e^{2x}}\) gegen 0 und der Term \(x^2\) gegen unendlich.
Also gilt: \(\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(-e^{-2x}+x^2)=\infty\).

Für \(x \rightarrow -\infty\) geht \(-e^{-2x}\) gegen \(-\infty\) und \(x^2\) gegen \(\infty\).
Da jedoch die e-Funktion dominiert, gilt \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}(-e^{-2x}+x^2)=-\infty\).

Für \(x\rightarrow \infty\) geht \(-2^x\) gegen \(-\infty\). Da der Term \(\cos(x)\) beschränkt ist, dominiert der Term \(-2^x\) und wir erhalten \(\lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)=-\infty\).

Für \(x\rightarrow -\infty\) geht \(-2^x\) gegen \(0\). Da jedoch der Term \(\cos(x)\) zwischen \(-1\) und \(1\) oszilliert, existiert der Grenzwert \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)\) nicht.

Für \(x\rightarrow \infty\) geht der Faktor \(-x\) gegen \(-\infty\) und \(e^x\) gegen \(\infty\).
Somit ist \(\lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)=-\infty\).

Für \(x\rightarrow \infty\) geht der Faktor \(-x\) gegen \(\infty\) und \(e^x\) gegen \(0\).
Da die e-Funktion dominiert, ist \(\lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)=0\).