Lösung Symmetrie

Max betrachtet die auf \(\mathbb{R}\) definierten Funktionen \(u(x)\) und \(v(x)\) deren Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse sind. Er behauptet, dass auch die Verknüpfung \(f(x)=u(x)\cdot v(x)\) ein zur y-Achse symmetrisches Schaubild besitzt.

a) Zeige rechnerisch, dass Max recht hat.

Da \(u(x)\) und \(v(x)\) achsensymmetrisch zur y-Achse sind, gilt \(u(x)=u(-x)\) und \(v(x)=v(-x)\).
Daraus folgt: \(f(-x)=u(-x)\cdot v(-x)=u(x)\cdot v(x)=f(x)\)
Daraus folgt: \(K_f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

Bemerkung: Die Angabe eines einzelnen Beispiels, wie \(u(x)=x^2\), \(v(x)=x^4\) und \(f(x)=u(x)\cdot v(x)=x^2\cdot x^4=x^6\), reicht nicht als vollständiger Nachweis aus.

b) Untersuche, wie sich die Symmetrie der Verknüpfung \(f(x)=u(x)\cdot v(x)\) für zum Ursprung punktsymmetrische \(u(x)\) und \(v(x)\) verhält.

Da \(u(x)\) und \(v(x)\) punktsymmetrisch zum Ursprung sind, gilt \(u(x)=-u(-x)\) und \(v(x)=-v(-x)\).
Daraus folgt: \(-f(-x)=-(u(-x)\cdot v(-x))=-u(-x)\cdot (-v(-x))=u(x)\cdot v(x)=f(x)\)
Daraus folgt: \(K_f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

c) Ermittle die Symmetrie-Eigenschaften von \(K_f\) mit \(f(x)=u(x)\cdot v(x)\). Gebe diese in der Tabelle an.

  i) Da \(u(x)\) punktsymmetrisch zum Ursprung und \(v(x)\) achsensymmetrisch zur y-Achse sind, gilt \(-u(x)=u(-x)\) und \(v(x)=v(-x)\).
  Daraus folgt: \(f(-x)=u(-x)\cdot v(-x)=-u(x)\cdot v(x)=-f(x)\)
  Daraus folgt: \(K_f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

  ii) Folgt aus der Kommutativität der Multiplikation.

  iii) siehe b)