Lösung Exponentialfunktion ableiten
- Nach der 3. Anmerkung ist \(f_q^\prime(x)=\ln(q)\cdot f_q(x)\).
Nach Anmerkung 1. gilt \(f_q^\prime(0)=\ln(q)\).
Insgesamt ist \(f_q(x)\cdot f_q^\prime(0)=q^x\cdot \ln(q)=f_q^\prime(x)\). Für \(q=e\) ist \(f_q'(0)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{e^h-1}{h}=1\)
Nun schauen wir für weitere Werte von \(q\), was wir für kleine \(h\) (z.B. \(h=0,000001\)) erhalten zum Beispiel:
\(q=1: \ f_q'(0)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1^h-1}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1-1}{h}=0\ \)\[q=2: \ f_q'(0)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2^h-1}{h} \approx \frac{2^{0,000001}-1}{0,000001}\approx 0,693\]Wir stellen dabei fest, dass die zu untersuchende Abbildung der natürliche Logarithmus ist.
Die Funktionsgleichung ist also gegeben durch \(f_q'(0)=\ln(q)\)Zu zeigen ist \(f'(x)=b\cdot e^{bx}\) mit \(f(x)=e^{bx}\).
Für \(b=\ln(q)\) ist \(f(x)=q^x=f_q(x)\) und somit \(f^\prime(x)=f_q^\prime(x)= \ln(q)\cdot q^x\).Ersetzen wir wieder \(\ln(q)\) mit \(b\), so erhalten wir
\(f^\prime(x)=\ln(q)\cdot q^x=b\cdot q^x=b\cdot e^{\ln(q)x}=b\cdot e^{bx}\)
und haben die Ableitungsregel damit gezeigt.