Lösung Kosinusfunktion, Periode, Steigung

Wenn Punkt \(\left(\frac{p}{2}\middle| p\right)\) ein Hochpunkt des Graphen von \(f\) ist und der Punkt \(\left(\frac{p}{4}\middle|\frac{p}{2}\right)\) ein Wendepunkt, dann ist der Punkt \(\left(0\middle|0\right)\) ein Tiefpunkt. Folglich kann die Funktionsgleichung geschrieben werden als:
\(f\left(x\right)=-a\cdot\cos{\left(\frac{2\pi}{p}x\right)}+d\)
wobei die Amplitude \(a=\frac{1}{2}\left(\frac{p}{2}+0\right)=\frac{1}{4}p\)
und die Verschiebung in y-Richtung \(d=\frac{p}{2}\):
\(f\left(x\right)=-\frac{p}{2}\cdot\cos{\left(\frac{2\pi}{p}\cdot x\right)}+\frac{p}{2}\)
Die Ableitung lautet:
\(f^\prime\left(x\right)=\frac{p}{2}\cdot\frac{2\pi}{p}\cdot\sin{\left(\frac{2\pi}{p}\cdot x\right)}=\pi \cdot\sin{\left(\frac{2\pi}{p}\cdot x\right)}\)
An der Stelle \(x=\frac{p}{4}\):
\(f^\prime\left(\frac{p}{4}\right)=\pi\cdot\sin{\left(\frac{2\pi}{p}\cdot\frac{p}{4}\right)}=\pi\cdot\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}=\pi\)
Also ist die Steigung des Graphen an der angegebenen Stelle: \(\pi\)