Erwartungshorizont
Die betrachtete mittlere Änderungsrate ist gleich der Steigung von \(g\).Damit gilt für \(x\in\mathbb{R}^+:\ \ f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{4}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2\sqrt x}=\frac{1}{4}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \sqrt x=2\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=4\)
Erläuterung der Lösung
Der rote Graph gehört zur Funktion \(f\) mit \(f\left(x\right)=\sqrt x\); die blaue Gerade hat die Gleichung \(y=\frac{1}{4}x\).
Die beiden Graphen schneiden sich bei \(x=0\) und \(x=16\), also geht es um das Intervall \(\left[0;16\right]\).
Die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion \(f\) in diesem Intervall ist die Steigung der Sekante, die den Graphen an den Intervallgrenzen schneidet. Man kann erkennen, dass diese Sekante die eingezeichnete Gerade ist. Also ist die durchschnittliche Änderungsrate \(\frac{1}{4}\).
Als Nächstes suchen wir eine Stelle im Intervall, an der die Tangente an den Graphen von \(f\) dieselbe Steigung \(\frac{1}{4}\) hat, denn die Steigung der Tangente ist ja die lokale Änderungsrate.
Die Funktion \(f\) mit \(f\left(x\right)=\sqrt x=x^\frac{1}{2}\) leiten wir ab mit der Regel: \(f\left(x\right)=x^n\ \ \Rightarrow\ \ f^\prime\left(x\right)=nx^{n-1}\)
\(f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\)
Jetzt müssen wir nur noch dasjenige \(x\in\left[0;16\right]\) finden, für das \(f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{4}\) tatsächlich gilt.
\[\begin{align}
\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} &=\frac{1}{4} \quad \mid \cdot2 \\
x^{-\frac{1}{2}} &=\frac{1}{2} \quad \mid ()^2 \\
x^{-1} &=\frac{1}{4} \quad \mid\cdot 4x \quad \text{(oder Kehrwert)} \\
4&=x
\end{align}\]
Das heißt an der Stelle \(x=4\) ist die lokale Änderungsrate von \(f\) gleich der durchschnittlichen Änderungsrate im Intervall \(\left[0;16\right]\).
