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Version 1.1 von akukin am 2024/10/20 19:00
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1 === Teilaufgabe 1 ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}y=4x-8{{/formula}}
4 {{/detail}}
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6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 <p>
9 Der y-Achsenabschnitt kann an der y-Achse abgelesen werden ({{formula}}-8{{/formula}}).
10 </p><p>
11 Die Steigung kann mit Hilfe eines Steigungsdreiecks ermittelt werden. Für jedes Kästchen, dass man nach rechts geht, muss man 4 Kästchen nach oben gehen, um wieder zur Geraden zu gelangen. Also ist die Steigung {{formula}}4{{/formula}}.
12 </p>
13 Und damit haben wir die Geradengleichung: {{formula}}y=4x-8{{/formula}}
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15 {{/detail}}
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17 === Teilaufgabe 2 ===
18 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
19 Gleichung der Tangente: {{formula}}y=mx+n{{/formula}}
20 <br>
21 {{formula}}f\left(u\right)=\frac{1}{2}u^2;\ \ m=f^\prime\left(u\right)=u{{/formula}}
22 <br>
23 {{formula}}\frac{1}{2}u^2=u\cdot u+n\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ n=-\frac{1}{2}u^2, d. h. n=-f\left(u\right){{/formula}}
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25 {{/detail}}
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28 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
29 Die erste Ableitungsfunktion {{formula}}f^\prime{{/formula}} der Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2{{/formula}} lautet:
30 <br>
31 {{formula}}f^\prime\left(x\right)=x{{/formula}}
32 <br>
33 Das heißt an jeder beliebigen Stelle {{formula}}u{{/formula}}, an der wir eine Tangente anlegen, ist die Steigung der Tangente auch {{formula}}u{{/formula}}, da gilt:
34 <br><p>
35 {{formula}}f^\prime\left(u\right)=u{{/formula}}
36 </p>
37 Wir wissen also schon, dass die Gleichung der Tangente, die wir an der Stelle {{formula}}u{{/formula}} an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} anlegen, folgende Form hat:
38 <br>
39 {{formula}}y=u\cdot x+b{{/formula}}
40 <br>
41 wobei {{formula}}b{{/formula}} wie immer der y-Achsenabschnitt ist. Das noch fehlende {{formula}}b{{/formula}} können wir z. B. mit einer Punktprobe ermitteln. Wir wissen ja, dass der Punkt {{formula}}\left(u\middle| f\left(u\right)\right){{/formula}} der Berührpunkt ist, an dem die Tangente den Graphen berührt. Folglich liegt dieser Punkt auch auf der Tangente, und wir können ihn für die Punktprobe verwenden:
42 <br><p>
43 {{formula}}y=u\cdot x+b{{/formula}} wird zu {{formula}}f\left(u\right)=u\cdot u+b{{/formula}}, wenn man den Punkt {{formula}}\left(u\middle| f\left(u\right)\right){{/formula}} einsetzt.
44 </p>
45 Nun stellen wir nach {{formula}}b{{/formula}} um:
46 <br>
47 {{formula}}f\left(u\right)=u^2+b\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ b=f\left(u\right)-u^2{{/formula}}
48 <br>
49 Als Letztes setzen wir für {{formula}}f\left(u\right){{/formula}} den Funktionswert {{formula}}\frac{1}{2}u^2{{/formula}} ein:
50 <br><p>
51 {{formula}}b=\frac{1}{2}u^2-u^2=-\frac{1}{2}u^2{{/formula}}
52 </p>
53 Damit lautet die Tangentengleichung:
54 <br>
55 {{formula}}y=u\cdot x-\frac{1}{2}u^2{{/formula}}
56 <br><p>
57 (Diese Tangentengleichung hätte man auch mit Hilfe der Formel aus der Merkhilfe ermitteln können.)
58 </p>
59 Für jedes {{formula}}u\in\mathbb{R}{{/formula}} gibt es eine eigene Tangente, und jede dieser Geraden schneidet die y-Achse im Punkt {{formula}}\left(0\middle|-\frac{1}{2}u^2\right){{/formula}}.
60 <br>
61 Also ist die Behauptung wahr.
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63 {{/detail}}