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Lösung Tangente und Berührpunkt

Version 1.1 von akukin am 2024/10/20 21:00

Teilaufgabe 1

Erwartungshorizont y=4x-8
Erläuterung der Lösung

Der y-Achsenabschnitt kann an der y-Achse abgelesen werden (-8).

Die Steigung kann mit Hilfe eines Steigungsdreiecks ermittelt werden. Für jedes Kästchen, dass man nach rechts geht, muss man 4 Kästchen nach oben gehen, um wieder zur Geraden zu gelangen. Also ist die Steigung 4.

Und damit haben wir die Geradengleichung: y=4x-8

Teilaufgabe 2

Erwartungshorizont Gleichung der Tangente: y=mx+n
f\left(u\right)=\frac{1}{2}u^2;\ \ m=f^\prime\left(u\right)=u
\frac{1}{2}u^2=u\cdot u+n\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ n=-\frac{1}{2}u^2, d. h. n=-f\left(u\right)
Erläuterung der Lösung Die erste Ableitungsfunktion f^\prime der Funktion f mit f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2 lautet:
f^\prime\left(x\right)=x
Das heißt an jeder beliebigen Stelle u, an der wir eine Tangente anlegen, ist die Steigung der Tangente auch u, da gilt:

f^\prime\left(u\right)=u

Wir wissen also schon, dass die Gleichung der Tangente, die wir an der Stelle u an den Graphen von f anlegen, folgende Form hat:
y=u\cdot x+b
wobei b wie immer der y-Achsenabschnitt ist. Das noch fehlende b können wir z. B. mit einer Punktprobe ermitteln. Wir wissen ja, dass der Punkt \left(u\middle| f\left(u\right)\right) der Berührpunkt ist, an dem die Tangente den Graphen berührt. Folglich liegt dieser Punkt auch auf der Tangente, und wir können ihn für die Punktprobe verwenden:

y=u\cdot x+b wird zu f\left(u\right)=u\cdot u+b, wenn man den Punkt \left(u\middle| f\left(u\right)\right) einsetzt.

Nun stellen wir nach b um:
f\left(u\right)=u^2+b\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ b=f\left(u\right)-u^2
Als Letztes setzen wir für f\left(u\right) den Funktionswert \frac{1}{2}u^2 ein:

b=\frac{1}{2}u^2-u^2=-\frac{1}{2}u^2

Damit lautet die Tangentengleichung:
y=u\cdot x-\frac{1}{2}u^2

(Diese Tangentengleichung hätte man auch mit Hilfe der Formel aus der Merkhilfe ermitteln können.)

Für jedes u\in\mathbb{R} gibt es eine eigene Tangente, und jede dieser Geraden schneidet die y-Achse im Punkt \left(0\middle|-\frac{1}{2}u^2\right).
Also ist die Behauptung wahr.