BPE 12.7 Monotonie

[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Funktionen auf strenge Monotonie untersuchen

[[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Wertemenge einer Funktion anhand von Graphen, Funktionstermen und Wertetabellen bestimmen

5

6

{{aufgabe id="Warum sind einige Aussagen wahr oder falsch?" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Nila Nurschams" zeit="4" tags=""}}

7

Gegeben ist eine Funktion {{formula}}f{{/formula}}.

8

Beurteile die folgenden Aussagen und begründe deine Entscheidung:

9

(%class=abc%)

10

1. Wenn {{formula}}f^′(x)≥0{{/formula}} gilt, ist {{formula}}f{{/formula}} streng monoton steigend.

11

1. Eine Funktion mit nur einer Nullstelle der Ableitung ist streng monoton.

12

1. Ist {{formula}}f^′(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x{{/formula}}, so besitzt {{formula}}f{{/formula}} keine Extremstellen.

13

1. Eine streng monoton steigende Funktion kann einen Wendepunkt besitzen.

14

15

16

{{aufgabe id="Monotoniebereiche bestimmen" afb="II" kompetenzen="K1, K4" quelle="Simone Kanzler" zeit="10" cc="by-sa" tags=""}}

17

Gib die Monotoniebereiche der Funktionen {{formula}}f(x){{/formula}} an:

18

(%class=abc%)

19

1. {{formula}}f(x)=\frac{1}{8}(\frac{1}{3}x^3+\frac{5}{2}x^2-50x+32){{/formula}}

20

1. {{formula}}g(x)=e^{(2x+1)}(x-1){{/formula}}

21

1. {{formula}}h(x)=ae^{(-x-5)}x^2;~ a \neq 0{{/formula}}

22

23

24

{{aufgabe id="Skizzieren mithilfe der Monotonie" afb="II" kompetenzen="K1, K4" quelle="Simone Kanzler" zeit="9" cc="by-sa" tags=""}}

25

Gegeben sind folgende Aussagen über die Funktion {{formula}}f(x){{/formula}}:

26

1. Für {{formula}}x \in [-\infty;-3]{{/formula}} gilt: {{formula}}f’(x){{/formula}}>0

27

1. Für {{formula}}x \in [-3;2]{{/formula}} gilt: {{formula}}f’(x){{/formula}}<=0

28

1. Für {{formula}}x \to \infty{{/formula}} gilt:{{formula}} f(x) \to 0{{/formula}}.

29

30

(%class=abc%)

31

1. Gib für jede Aussage das entsprechende Monotonieverhalten an.

32

1. Skizziere mithilfe der Aussagen ein mögliches Schaubild der Funktion {{formula}}f(x){{/formula}}.

33

34

35

{{aufgabe id="Aus Schaubild der Ableitung" afb="II" kompetenzen="K1, K4" quelle="Ingrid Kolupa, Katharina Justice" zeit="10" cc="by-sa" tags=""}}

36

[[image:Ableitungsgraph.svg||class="right" width=350]]Gegeben ist der Graph von {{formula}}f'{{/formula}}.

37

38

Beurteile die folgenden Aussagen:

39

(%class=abc%)

40

1. Für {{formula}}x \in [2;3]{{/formula}} ist der Graph von {{formula}}f{{/formula}} monoton fallend.

41

1. Zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt des Graphen von {{formula}}f'{{/formula}} ist der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} monoton fallend.

42

1. Es gilt: {{formula}}f(-2)<f(0){{/formula}}

43

1. Für {{formula}}x<-2{{/formula}} gilt: {{formula}}f''(x) > 0{{/formula}}

44

45

46

{{aufgabe id="Monotonie" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="25"}}

47

//f// bezeichnet im Folgenden eine im ganzen Definitionsbereich **D** knickfreie Funktion.

48

49

Streng steigende Monotonie ist für //f// wie folgt definiert:

50

Wenn für alle {{formula}}a, b \in \textbf{D}{{/formula}} mit {{formula}}a<b{{/formula}} gilt: {{formula}}f(a)<f(b){{/formula}}, heißt //f// streng monoton steigend.

51

52

Aus dem Unterricht wissen wir, dass wir streng steigende Monotonie auch wie folgt untersuchen können:

53

Wenn für alle {{formula}}x \in \textbf{D}{{/formula}} gilt: {{formula}}f'(x)>0{{/formula}}, dann ist //f// streng monoton steigend.

54

55

Zeige mit Hilfe einer geeigneten Funktion //f// folgende Aussage:

56

Eine Funktion kann auch dann streng monoton steigend sein, wenn {{formula}}f'(x)>0{{/formula}} nicht für alle {{formula}}x \in \textbf{D}{{/formula}} gilt.

57

58

59

{{aufgabe id="Freier Fall" afb="II" kompetenzen="K1,K3,K5" quelle="Holger Engels" zeit="6"}}

60

Die Geschwindigkeit eines Körpers im freien Fall wird in einem vereinfachten Modell durch die Funktion {{formula}}v{{/formula}} mit

61

62

{{formula}}v(t)=\frac{m \cdot g}{\beta}\left(1-e^{-\frac{\beta}{m}\cdot t}\right);~t>=0{{/formula}}

63

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beschrieben. Zeige, dass die Geschwindigkeit stets zunimmt.

65

66

**Quelle:** Wikipedia [[Fall mit Stokes-Reibung>>https://de.wikipedia.org/wiki/Fall_mit_Luftwiderstand#Fall_mit_Stokes-Reibung]]: Bei kleinen Geschwindigkeit ist die Luftreibung proportional zur Fallgeschwindigkeit.

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		8	Beurteile die folgenden Aussagen und begründe deine Entscheidung:
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		10	1. Wenn {{formula}}f^′(x)≥0{{/formula}} gilt, ist {{formula}}f{{/formula}} streng monoton steigend.
		11	1. Eine Funktion mit nur einer Nullstelle der Ableitung ist streng monoton.
		12	1. Ist {{formula}}f^′(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x{{/formula}}, so besitzt {{formula}}f{{/formula}} keine Extremstellen.
		13	1. Eine streng monoton steigende Funktion kann einen Wendepunkt besitzen.
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		27	1. Für {{formula}}x \in [-3;2]{{/formula}} gilt: {{formula}}f’(x){{/formula}}<=0
		28	1. Für {{formula}}x \to \infty{{/formula}} gilt:{{formula}} f(x) \to 0{{/formula}}.
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		31	1. Gib für jede Aussage das entsprechende Monotonieverhalten an.
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		38	Beurteile die folgenden Aussagen:
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		40	1. Für {{formula}}x \in [2;3]{{/formula}} ist der Graph von {{formula}}f{{/formula}} monoton fallend.
		41	1. Zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt des Graphen von {{formula}}f'{{/formula}} ist der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} monoton fallend.
		42	1. Es gilt: {{formula}}f(-2)<f(0){{/formula}}
		43	1. Für {{formula}}x<-2{{/formula}} gilt: {{formula}}f''(x) > 0{{/formula}}
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		46	{{aufgabe id="Monotonie" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="25"}}
		47	//f// bezeichnet im Folgenden eine im ganzen Definitionsbereich D knickfreie Funktion.
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		49	Streng steigende Monotonie ist für //f// wie folgt definiert:
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		51
		52	Aus dem Unterricht wissen wir, dass wir streng steigende Monotonie auch wie folgt untersuchen können:
		53	Wenn für alle {{formula}}x \in \textbf{D}{{/formula}} gilt: {{formula}}f'(x)>0{{/formula}}, dann ist //f// streng monoton steigend.
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		55	Zeige mit Hilfe einer geeigneten Funktion //f// folgende Aussage:
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		59	{{aufgabe id="Freier Fall" afb="II" kompetenzen="K1,K3,K5" quelle="Holger Engels" zeit="6"}}
		60	Die Geschwindigkeit eines Körpers im freien Fall wird in einem vereinfachten Modell durch die Funktion {{formula}}v{{/formula}} mit
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		62	{{formula}}v(t)=\frac{m \cdot g}{\beta}\left(1-e^{-\frac{\beta}{m}\cdot t}\right);~t>=0{{/formula}}
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		64	beschrieben. Zeige, dass die Geschwindigkeit stets zunimmt.
		65
		66	Quelle: Wikipedia [[Fall mit Stokes-Reibung>>https://de.wikipedia.org/wiki/Fall_mit_Luftwiderstand#Fall_mit_Stokes-Reibung]]: Bei kleinen Geschwindigkeit ist die Luftreibung proportional zur Fallgeschwindigkeit.
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Wiki-Quellcode von BPE 12.7 Monotonie