Lösung Freier Fall

Gegeben ist die Funktion \(v(t)=\frac{m \cdot g}{\beta}\left(1-e^{-\frac{\beta}{m}\cdot t}\right)=\frac{m \cdot g}{\beta} - \frac{m \cdot g}{\beta}\cdot e^{-\frac{\beta}{m}\cdot t}\) mit \(t\geq 0\). 

Um zu zeigen, dass die Geschwindigkeit stets zunimmt, müssen wir zeigen, dass die Funktion streng monoton wachsend ist. Das heißt, wir müssen zeigen, dass die Ableitung der Funktion (die Beschleunigung) für alle \(t \geq 0\) stets positiv ist (\(v^\prime(t)>0\) für alle \(t\geq 0\)).

Wir bestimmen die Ableitungsfunktion mit Hilfe der Kettenregel:
\(v'(t) = -\frac{m \cdot g}{\beta} \cdot e^{-\frac{\beta}{m}\cdot t}\cdot \left(-\frac{\beta}{m}\right) = \frac{m \cdot g}{\beta} \cdot \frac{\beta}{m} \cdot e^{-\frac{\beta}{m}\cdot t} = g \cdot e^{-\frac{\beta}{m}\cdot t}\).

Da der Graph der Exponentialfunktion stets oberhalb der x-Achse verläuft (entspricht dem Verlauf der Funktion \(f(x)=e^{-x}\)), gilt \(e^{-\frac{\beta}{m}\cdot t} > 0\) für alle \(t \geq 0\). Da zudem der Ortsfaktor \(g\) eine positive Konstante ist (das heißt \(g>0\), gilt insgesamt \(v^\prime(t)>0\) für alle \(t\geq 0\).