Lösung Monotoniebereiche bestimmen

Gib die Monotoniebereiche der Funktionen \(f(x)\) an:

1. \[f(x)=\frac{1}{8}(\frac{1}{3}x^3+\frac{5}{2}x^2-50x+32)~\Rightarrow f'(x)=\frac18(x^2+5x-50)\]

   \[\begin{align} f'(x) = 0 \\ \frac18(x^2+5x-50) = 0\\ x^2+5x-50=0\\ x_1=-10;~x_2=5 \end{align}\]

   Aufgrund des Verlaufs von III nach I und der Tatsache, dass es zwei einfache NS (mit VZW) in der ersten Ableitung gibt, kann man folgern, dass es erst rau, dann runter und schließlich wieder rauf geht. Dann sind die Monotoniebereiche:

   • streng monoton steigend für \(x\leq-10\)
   • streng monoton fallend für \(-10 \leq x \leq 5\)
   • streng monoton steigend für \(x \geq 5\)
2. \[g(x)=e^{(2x+1)}(x-1)~\Rightarrow g'(x)=2xe^{2x+1}-e^{2x+1} = e^{2x+1}(2x-1)\]

   \[\begin{align} g'(x) = 0 \\ e^{2x+1}(2x-1) = 0\\ 2x-1=0\\ x=\frac12 \end{align}\]

   Die Ableitungsfunktion hat einen Schnittpunkt mit der x-Achse bei \(x=\frac12\). Indem man beispielsweise 0, einen Wert links davon und 1, einen Wert rechts davon einsetzt, kann man feststellen, dass es an dieser NS einen VZW von Minus nach Plus gibt:
      \(g'(0)=e^1\cdot(-1) < 0\)
      \(g'(1)=e^3\cdot(1) > 0\)
   Dann sind die Monotoniebereiche:

   • streng monoton fallend für \(x\leq\frac12\)
   • streng monoton steigend für \(x \geq \frac12\)

3. \(h(x)=ae^{(-x-5)}x^2\)
   Lösung fehlt