Lösung Warum sind einige Aussagen wahr oder falsch?

Gegeben ist eine Funktion \(f\).
Beurteile die folgenden Aussagen und begründe deine Entscheidung:

1. Wenn \(f^′(x)≥0\) gilt, ist \(f\) streng monoton steigend.
   Aussage 1: Falsch.
   Begründung: Für strenge Monotonie muss \(f'(x)>0\) gelten.
   Bei \(f'(x)=0\) kann die Funktion lokal konstant sein.

1. Eine Funktion mit nur einer Nullstelle der Ableitung ist streng monoton.
   Aussage 2: Falsch.
   Begründung: Eine Nullstelle der Ableitung kann ein Extrempunkt sein → Vorzeichenwechsel → keine Monotonie im gesamten Definitionsbereich.

1. Ist \(f^′(x)>0\) für alle \(x\), so besitzt \(f\) keine Extremstellen.
   Aussage 3: Richtig.
   Begründung: Extremstellen erfordern \(f'(x)=0\).

1. Eine streng monoton steigende Funktion kann einen Wendepunkt besitzen.
   Aussage 4: Richtig.
   Begründung: Ein Wendepunkt betrifft die Krümmung, nicht die Monotonie.
   Beispiel: \(f(x)=x^3\)