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Lösung Hängebrücke

Zuletzt geändert von akukin am 2024/03/26 17:42

    • \(r(x)=0 \ \Leftrightarrow \ \frac{1}{11}\cdot (32-x)=0 \ \Leftrightarrow \ x=32 \)
      Das Abspannseil und damit auch die Fahrbahn enden also rechts an der Stelle \(x=32\). Da die Brücke achsensymmetrisch ist und somit links vom Ursprung genauso lang ist wie rechts und die Längeneinheit im Koordinatensystem 10m entspricht, gilt für die Länge:
      \(2 \cdot 32 \cdot 10 \text{m}=640 \text{m}\)
      Somit ist die  Fahrbahn der Brücke insgesamt 640 m lang.
    • Aus Symmetriegründen gilt \(l(x)=r(-x)\). Aus Teilaufgabe a. ist bereits bekannt, dass die Fahrbahn an der Stelle \(x=-32\) beginnen muss. Aus dem Aufgabentext geht hervor, dass die Pfeiler einen Abstand von 400m haben. Es gilt somit für den Abstand von Fahrbahnbeginn zum linken Pfeiler: \(\frac{640\text{m}-400\text{m}}{2}=120 \text{m} \ \widehat{=} \ 12 \text{LE}\). Dadurch ergibt sich das Intervall \(\left[-32;-20\right]\).
    • \(r(20)\cdot 10 \text{m}+20 \text{m} \approx 70 \text{m}\)
    • \(r^\prime(x)=-\frac{23}{100}\cdot e^{\frac{1}{11}(32-x)}\)
      \(\tan(\alpha)=r^\prime(20) \ \Leftrightarrow \ \alpha=\tan^{-1}(r^\prime(20))=\left(-\frac{23}{100}\cdot e^{\frac{1}{11}(32-20)}\right)\) liefert für die gesuchte Winkelgröße \(90^\circ + \alpha \approx 56^\circ \)
    • \(\int\limits_{20}^{32} r(x) \mathrm{d}x=\frac{253}{100}\cdot \left[-11 \cdot e^{\frac{1}{11}(32-x)}-x\right]_{20}^{32} \approx 25\)
      Der Flächeninhalt beträgt etwa \(2500 \text{m}^2\).

    • Der Funktionsterm ist ganzrational und enthält Potenzen von \(x\) ausschließlich mit geradzahligen Exponenten.
    • \(s(x)-s(x-4)=0,5 \)
    • Mit dem Term kann die Gesamtlänge der Halteseile im mittleren Brückenabschnitt berechnet werden.
      Begründung: Der Term \(s(-20+1,6\cdot k)\) gibt für jedes der 24 Halteseile die Länge im Modell an. Der Faktor \(10\) berücksichtigt den verwendeten Maßstab.
    • Die Lösung der Gleichung ermöglicht die Berechnung des Abstands desjenigen Punktes des rechten Pfeilers zum Tragseil, der auf der Höhe der Fahrbahn liegt.
      Begründung: Die Lösung der Gleichung ist die x-Koordinate desjenigen Punkts \(P\) des Graphen von \(s\), dessen Verbindungsstrecke zum Punkt \(\left(20|0\right)\) senkrecht zur Tangente an den Graphen von \(s\) in \(P\) steht. 
    • LösungHängebrücke.pngMit \(\tan\left(\frac{\beta}{2}\right)=\frac{20}{\frac{1699}{36}-5}\) ergibt für die Länge des Kreisbogens \(\frac{\beta}{360^\circ}\cdot 2\pi \cdot \left(\frac{1699}{36}-\frac{1}{2}\right)\approx 41,3\).
      Das Tragseil ist etwa 413m lang.